第二课时数列求和习题课1.已知数列{an}的通项公式为an=2n+1,则{an}的前n项和Sn等于(B)(A)n2(B)n2+2n(C)2n2+n(D)n+2解析:a1=2×1+1=3,Sn===n2+2n.故选B.2.已知数列{an}的前n项和为Sn,并满足:an+2=2an+1-an,a5=4-a3,则S7等于(C)(A)7(B)12(C)14(D)21解析:由an+2=2an+1-an知数列{an}为等差数列,由a5=4-a3得a5+a3=4=a1+a7,所以S7==14.故选C.3.已知数列{an}的通项公式是an=2n-3（）n,则其前20项和为(C)(A)380-(1-)(B)400-(1-)(C)420-(1-)(D)440-(1-)解析:令数列{an}的前n项和为Sn,则S20=a1+a2+…+a20=2(1+2+…+20)-3(++…+)=2×-3×=420-(1-).故选C.4.已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前10项和为(C)(A)(B)(C)(D)解析:an===（-),所以S10=(-+-+…+-)=.故选C.5.数列{an}满足an+an+1=(n∈N*),且a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S21等于(B)1(A)(B)6(C)10(D)11解析:依题意得an+an+1=an+1+an+2=,则an+2=an,即数列{an}中的奇数项,偶数项分别相等,则a21=a1=1,S21=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a19+a20)+a21=10(a1+a2)+a21=10×+1=6,故选B.6.数列{n·2n}的前n项和等于(B)(A)n·2n-2n+2(B)n·2n+1-2n+1+2(C)n·2n+1-2n(D)n·2n+1-2n+1解析:设{n·2n}的前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,①所以2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,所以Sn=n·2n+1-2n+1+2,故选B.7.已知数列{an}的通项an=2ncos(nπ),则a1+a2+…+a99+a100等于(D)(A)0(B)(C)2-2101(D)·(2100-1)解析:因为an=2ncos(nπ),n为奇数时,cos(nπ)=-1,an=-2n,n为偶数时,cos(nπ)=1,an=2n,综上,数列{an}的通项公式an=(-2)n.所以数列{an}是以-2为首项,-2为公比的等比数列.所以a1+a2+…+a99+a100==(2100-1).故选D.8.已知数列{an}的前n项和为Sn,把{Sn}的前n项和称为“和谐和”,用Hn来表示,对于an=3n,其“和谐和”Hn等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:由an=3n,可得Sn==(3n-1),2则Hn=(3+9+…+3n-n)=·[-n]=.故选A.9.若等比数列{an}满足a1+a4=10,a2+a5=20,则{an}的前n项和Sn=.解析:由题意a2+a5=q(a1+a4),得20=q×10,故q=2,代入a1+a4=a1+a1q3=10,得9a1=10,即a1=.故Sn==(2n-1).答案:(2n-1)10.已知数列{an}满足an+1=an+2(n∈N*)且a1=2,数列{bn}满足bn=,则数列{bn}的前10项和为.解析:由an+1-an=2得{an}是首项为2,公差为2的等差数列,所以an=2n,所以bn=,数列{bn}的前10项和S10=++…+=×(-+-+…+-)=×(-)=.答案:11.1+11+111+…+=.解析:因为=1+10+102+…+10n-1=(10n-1),所以Sn=(101-1+102-1+103-1+…+10n-1)3=[(101+102+…+10n)-n]=[-n]=.答案:12.设数列{an}的通项为an=2n-7(n∈N*),则|a1|+|a2|+…+|a15|=.解析:因为an=2n-7,所以a1=-5,a2=-3,a3=-1,a4=1,a5=3,…,a15=23,所以|a1|+|a2|+…+|a15|=(5+3+1)+(1+3+5+…+23)=9+=153.答案:15313.已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.解:(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由b2=3,b3=9,得q==3,bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1,即有a1=b1=1,a14=b4=27,则d==2,故an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)知,cn=an+bn=2n-1+3n-1,所以Tn=[1+3+…+(2n-1)]+(1+3+9+…+3n-1)=n·2n+=n2+.14.已知数列{an}的首项a1=2,且an=2an-1-1(n∈N+,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{n·an-n}的前n项和Sn.解:(1)由an=2an-1-1得an-1=2(an-1-1),故{an-1}构成首项为a1-1=1,公比q=2的等比数列,所以an-1=2n-1,即an=2n-1+1.(2)因为nan-n=n·2n-1+n-n=n·2n-1,所以Sn=1·20+2·21+3·22+…+n·2n-1,①2Sn=1·21+2·22+3·23+…+(n-1)·2n-1+n·2n,②4①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=2n-1-n·2n.得,Sn=n·2n+1-2n=(n-1)2n+1.15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2=3,S5=25.(1)求数列{an}的通项公式an;(2)设数列的前n项和为Tn,是否存在k∈N*,使得等式2-2Tk=成立,若存在,求出k的值;若不存在,说明理由.解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意得所以所以an=1+2(n-1)=2n-1.(2)不存在.理由如下:由(1)得==(-),所以数列的前n项和Tn=(1-+-+-+…+-)=(1-)=.因为2-2Tk=2-=1+,而数列在k∈N*单调递减,所以1<2-2Tk=1+≤,又∈(0,],...
