高中数学 考点20 平面与平面之间的位置关系庖丁解题 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学试题VIP专享VIP免费

考点20平面与平面之间的位置关系平面与平面的位置关系位置关系图示表示法公共点个数两平面平行α∥β无两平面相交有一条公共直线【例】给出的下列四个命题中，其中正确命题的个数是（）①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③平面α内△ABC的三个顶点到平面β的距离相等，则α与β平行；④若两个平面有无数个公共点，则这两个平面的位置关系是相交或重合．A．0B．1C．3D．4【答案】A对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1的面AA1D1D中，与A1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故②是错误的．对于③，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，分别取AA1，DD1，BB1，CC1的中点E，F，G，H，A1，B，C到平面EFHG的距离相等，而△A1BC与平面EFHG相交，故③是错误的．【思路探索】根据平面平行、相交的定义，借助于模型长方体或正方体进行判断．两平面位置关系中不存在重合，若重合则为一个平面，故命题④错．1．圆柱的两个底面的位置关系是（）A．相交B．平行C．平行或异面D．相交或异面【答案】B【解析】圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．2．若两个平面内分别有一条直线，且这两条直线是异面直线，则这两个平面的公共点的个数是（）A．有限个B．无限个C．一个也没有D．一个也没有或无限个【答案】D【解析】借助正方体或长方体模型得知，这两个平面平行或相交．【规律方法】判断两平面的位置关系或两平面内的线线，线面关系，我们常根据定义，借助实物模型“百宝箱”长方体（或正方体）进行判断．（2）反证法也用于相关问题的证明．3．若两个平面相互平行，则分别在这两个平面内的直线的位置关系是（）A．平行B．异面C．相交D．平行或异面【答案】D4．下列说法中，正确的是（）①若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点，则这两个平面平行；②过平面外一点有且仅有一个平面和已知平面平行；③过平面外两点不能作平面与已知平面平行；④若一条直线和一个平面平行，则经过这条直线的任何平面都与已知平面平行．A．①③B．②④C．①②D．②③④【答案】C【解析】①②正确；③中，两点所在直线与平面平行时可以；④中，经过这条直线的平面与已知平面可能相交．5．三个互不重合的平面把空间分成六个部分时，它们的交线有（）A．1条B．2条C．3条D．1或2条【答案】D6．如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论．【解析】平面ABC与β的交线与l相交．证明： AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l一定相交，设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l．又 AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC，P∈β．∴点P是平面ABC与β的一个公共点，而点C也是平面ABC与β的一个公共点，且P，C是不同的两点，∴直线PC就是平面ABC与β的交线．即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，∴平面ABC与β的交线与l相交．【易错易混】用符号语言表示两个相交平面时，必须写出交线是什么，避免出现的错误写法．1．两平面平行，，下列四个命题：①内的所有直线平行；②内无数条直线平行；③直线内任何一条直线都不垂直；④无公共点，其中正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】①中a不是与β内的所有直线平行，而是与无数条直线平行，有一些是异面；②正确；③中直线内无数条直线垂直；④根据定义无公共点，正确．故选B．2．如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号)．①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线．【答案】①【解析】空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点．3．下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β．其中错误命题的序号为________．【答案】①②4．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？【解析】三个平面可把空间分成4（如图①）、6（如图②③）、7（如图④）或8（如图⑤）个部分．书本中的面面关系高尔基...