第八节第一课时直线与圆锥曲线的位置关系课时作业A组——基础对点练1．(2018·西安模拟)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是()A．4B．3C．4D．8解析： y2＝4x，∴F(1,0)，l：x＝－1，过焦点F且斜率为的直线l1：y＝(x－1)，与y2＝4x联立，解得x＝3或x＝(舍)，故A(3,2)，∴AK＝4，∴S△AKF＝×4×2＝4.故选C.答案：C2．已知直线l：y＝2x＋3被椭圆C：＋＝1(a>b>0)截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有()①y＝2x－3；②y＝2x＋1；③y＝－2x－3；④y＝－2x＋3.A．1条B．2条C．3条D．4条解析：直线y＝2x－3与直线l关于原点对称，直线y＝－2x－3与直线l关于x轴对称，直线y＝－2x＋3与直线l关于y轴对称，故有3条直线被椭圆C截得的弦长一定为7.答案：C3．(2018·郴州模拟)过点P(－，0)作直线l与圆O：x2＋y2＝1交于A、B两点，O为坐标原点，设∠AOB＝θ，且θ∈，当△AOB的面积为时，直线l的斜率为()A.B．±C.D．±解析： △AOB的面积为，∴×1×1×sinθ＝，∴sinθ＝. θ∈，∴θ＝，∴圆心到直线l的距离为.设直线l的方程为y＝k(x＋)，即kx－y＋k＝0，∴＝，∴k＝±.答案：B4．已知过定点(1,0)的直线与抛物线x2＝y相交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则(x1－1)(x2－1)＝________.解析：设过定点(1,0)的直线的方程为y＝k(x－1)，代入抛物线方程x2＝y得x2－kx＋k＝0，故x1＋x2＝k，x1x2＝k，因此(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝1.答案：15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为______________．解析：抛物线x2＝2py的准线方程为y＝－，与双曲线的方程联立得x2＝a2(1＋)，根据已知得a2(1＋)＝c2①.由|AF|＝c，得＋a2＝c2②.由①②可得a2＝b2，即a＝b，所以所求双曲线的渐近线方程是y＝±x.答案：y＝±x6．过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若使得|AB|＝λ的直线l恰有13条，则λ＝________.解析： 使得|AB|＝λ的直线l恰有3条．∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直．此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y＝±2，故|AB|＝4. 双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，∴过双曲线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，综上可知|AB|＝4时，有三条直线满足题意．∴λ＝4.答案：47．设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，点O为坐标原点，点A的坐标为(a,0)，点B的坐标为(0，b)，点M在线段AB上，满足|BM|＝2|MA|，直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e；(2)设点C的坐标为(0，－b)，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．解析：(1)由题设条件知，点M的坐标为，又kOM＝，从而＝，进而得a＝b，c＝＝2b，故e＝＝.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB的方程为＋＝1，点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为，则线段NS的中点T的坐标为.又点T在直线AB上，且kNS·kAB＝－1，从而有解得b＝3.所以a＝3，故椭圆E的方程为＋＝1.8.已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过点P(2，)，且它的离心率e＝.(1)求椭圆的标准方程；(2)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线l：y＝kx＋t交椭圆于M，N两点，若椭圆上一点C满足OM＋ON＝λOC，求实数λ的取值范围．解析：(1)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)，由已知得：解得所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)因为直线l：y＝kx＋t与圆(x－1)2＋y2＝1相切，所以＝1⇒2k＝(t≠0)，把y＝kx＋t代入＋＝1并整理得：(3＋4k2)x2＋8ktx＋(4t2－24)＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，y1＋y2＝kx1＋t＋kx2＋t＝k(x1＋x2)＋2t＝，因为λOC＝(x1＋x2，y1＋y2)，所以C，又因为点C在椭圆上，所以，＋＝1⇒λ2＝＝，因为t2>0，所以2＋＋1>1，所以0<λ2<2，所以λ的取值范围为(－，0)∪(0，)．2B组——能力提升练1．已知直线y＝1－x与双曲线ax2＋by2＝1(a>0，b<0)的渐近线交于A、B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为－，则的值为()A．－B．－C．－D．－解析：由双曲线ax2＋by2＝...
