阶段强化训练(三)一、选择题1．如图所示，若向量AB＝a，AC＝b，CD＝c，则向量BD可以表示为()A．a＋b－cB．a－b＋cC．b－a＋cD．b＋a－cC[BD＝AD－AB＝AC＋CD－AB＝b＋c－a＝b－a＋c.]2．若a＝(1,2)，b＝(－3,0)，(2a＋b)⊥(a－mb)，则m＝()A．－B.C．2D．－2B[因为a＝(1,2)，b＝(－3,0)，所以2a＋b＝(－1,4)，a－mb＝(1＋3m,2)，由2a＋b与a－mb垂直，得－1－3m＋8＝0，解得m＝.]3．已知平面向量a，b夹角为，且|a|＝1，|b|＝，则|a－2b|＝()A．1B.C．2D.A[根据条件：a·b＝1××＝，∴(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝1－4×＋4×＝1，∴|a－2b|＝1.]4．已知向量a与b不共线，AB＝a＋mb，AC＝na＋b(m，n∈R)，则AB与AC共线的条件是()A．m＋n＝0B．m－n＝0C．mn＋1＝0D．mn－1＝0D[由AB＝a＋mb，AC＝na＋b，(m，n∈R)共线得a＋mb＝λ(na＋b)，即mn－1＝0.故选D.]5．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c＝()A．－a＋bB.a－bC.a－bD．－a＋bB[设c＝xa＋yb，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)，∴解得∴c＝a－b.]二、填空题6．如图所示，在边长为3的正方形ABCD中，AC与BD交于F，AE＝AD，则EF·BD＝________.－3[建立平面直角坐标系如图所示，则A(0,0)，B(3,0)，C(3,3)，D(0,3)，E(0,1)，F，则EF·BD＝·(－3,3)＝×(－3)＋×3＝－3.]7．已知a＝(1，－2)，b＝(4,2)，设2a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝________.[2a＝2(1，－2)＝(2，－4)，a－b＝(1，－2)－(4,2)＝(－3，－4)，cosθ＝＝＝.]8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，且a与b不共线，若用m，n表示p，则p＝________.－m＋n[设p＝xm＋yn，则p＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b＝3a＋2b，又 a与b不共线，∴解得故p＝－m＋n.]三、解答题9．如图，▱ABCD的两条对角线交于M.且AC＝a，BD＝b.(1)用a，b表示AB与AD；(2)对于平面上任一点O，若OA＋OB＋OC＋OD＝kOM，求k的值．[解](1)在▱ABCD中，AB＋AD＝AC＝a.①AD－AB＝BD＝b.②①＋②得2AD＝a＋b，①－②得2AB＝a－b，所以AD＝(a＋b)＝a＋b，AB＝(a－b)＝a－b.(2)因为OA＋OB＋OC＋OD＝kOM，所以kOM＝OM＋MA＋OM＋MB＋OM＋MC＋OM＋MD＝4OM＋(MA＋MC)＋(MB＋MD)．由于平行四边形的对角线互相平分，所以MA＋MC＝0，MB＋MD＝0，所以kOM＝4OM，所以k＝4.10．平面内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)，点X为直线OP上的一个动点．(1)当XA·XB取最小值时，求OX的坐标；(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cos∠AXB的值．[解](1)设OX＝(x，y)，因为点X在直线OP上，所以向量OX与OP共线．又OP＝(2,1)，所以x×1－y×2＝0，即x＝2y，所以OX＝(2y，y)．又XA＝OA－OX＝(1－2y,7－y)，XB＝OB－OX＝(5－2y,1－y)，于是XA·XB＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.可知当y＝2时，XA·XB取最小值－8，此时OX＝(4,2)．(2)当OX＝(4,2)即y＝2时，有XA＝(－3,5)，XB＝(1，－1)，XA·XB＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8，所以cos∠AXB＝＝＝.1．如图所示，矩形ABCD中，AB＝4，点E为AB的中点，若DE⊥AC，则|DE|等于()A.B．2C．3D．2B[建立平面直角坐标系如图所示，设|AD|＝t，则A(0,0)，C(4，t)，D(0，t)，E(2,0)，则DE＝(2，－t)，AC＝(4，t)，由DE⊥AC得DE·AC＝8－t2＝0，解得t＝2，所以DE＝(2，－2)，|DE|＝＝2.]2．已知向量a＝(1,0)，b＝(cosθ，sinθ)，θ∈，则|a＋b|的取值范围是()A．[0，]B．(1，]C．[1,2]D．[，2]D[ a＋b＝(1,0)＋(cosθ，sinθ)＝(1＋cosθ，sinθ)，∴|a＋b|2＝(1＋cosθ)2＋sin2θ＝2＋2cosθ.又θ∈，∴cosθ∈[0,1]，∴|a＋b|2∈[2,4]．∴|a＋b|的取值范围是[，2]．]3．已知锐角△ABC三个内角为A，B，C，向量p＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量q＝(sinA－cosA,1＋sinA)是共线向量，则角A＝________.[ p∥q，∴(2－2sinA)(1＋sinA)－(sinA－cosA)(cosA＋sinA)＝0，∴2－2sin2A＝sin2A－cos2A，∴sin2A＝.又A为锐角，∴sinA＝，∴A＝.]4．已知平面内的三个单位向量a，b，c，a·b＝0，则|a＋b－c|的取值范围为________．[－1，＋1][三个向量a，b，c在同一平面内，且均为单位向量，a·b＝0，可设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，...
