第4讲导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位利用导数研究函数的性质，能进行简单的定积分计算，以含指数函数、对数函数、三次有理函数为载体，研究函数的单调性、极值、最值，并能解决简单的问题
(2018·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax
若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为()A
y＝－2xB
y＝x解析因为函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，可得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0，0)处的切线方程为y＝x
(2017·全国Ⅱ卷)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A
－2e－3C
1解析f′(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]·ex－1，则f′(－2)＝[4－2(a＋2)＋a－1]·e－3＝0a＝－1，则f(x)＝(x2－x－1)·ex－1，f′(x)＝(x2＋x－2)·ex－1，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝1，当x1时，f′(x)>0；当－22，令f′(x)＝0得，x＝或x＝
当x∈∪时，f′(x)0
所以f(x)在，上单调递减，在上单调递增
(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a>2
由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2－ax＋1＝0，所以x1x2＝1
又 x2>x1>0，所以x2>1
又t＝f(x1)－f(x2)－(a－2)(x1－x2)＝－－(x1－x2)＋a(lnx1－lnx2)－(a－2)(x1－x2)＝a＝－a
设φ(x)＝－x＋2lnx，x>1
由第(1)问知，φ(x)在(1，＋∞)单调递减，且φ(1)＝0，从而当x∈(1，＋∞)时，φ(x)0
