第2讲综合法、分析法、反证法一、选择题1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是()A.lg(1＋a2)>0B.a2＋b2≥2(a－b－1)C.a2＋3ab>2b2D.<解析在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.答案B2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设()A.三个内角都不大于60°B.三个内角都大于60°C.三个内角至多有一个大于60°D.三个内角至多有两个大于60°答案B3.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是()A.a>bB.a＋＞0(m＞1)，∴<，即a40，∴＋>2＋.答案＋>2＋7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是__________________.答案都不能被5整除8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的序号是________.解析要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立.答案①③④三、解答题9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.又上述三个不等式中等号不能同时成立.∴··＞abc成立.上式两边同时取常用对数，得lg＞lgabc，∴lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.10.设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？(1)证明假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾，所以数列{Sn}不是等比数列.(2)解当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，即2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，得q＝0，这与公比q≠0矛盾.综上，当q＝1时，数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，数列{Sn}不是等差数列.11.已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为()A.A≤B≤CB.A≤C≤BC.B≤C≤AD.C≤B≤A解析∵≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，∴f≤f()≤f.答案A12.设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2解析∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋＋＝＋＋≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.答案D13.如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________.解析∵a＋b－(a＋b)＝(a－b)＋(b－a)＝(－)(a－b)＝(－)2(＋).∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.答案a≥0，b≥0且a≠b14.(2015·安徽卷)设n∈N*，xn是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点的横坐标.(1)求数列{xn}的通项公式；(2)记Tn＝xx…x，证明：Tn≥.(1)解y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).令y＝0，解得切线与x轴的交点的横坐标xn＝1－＝，所以数列{xn}的通项公式xn＝.(2)证明由题设和(1)中的计算结果知，Tn＝xx…x＝….当n＝1时，T1＝.当n≥2时，因为x＝＝>＝＝，所以Tn>×××…×＝.综上可得，对任意的n∈N*，均有Tn≥.
