3.1变化率与导数课后训练案巩固提升1.(2016陕西西安高二月考)如图,函数f(x)在A,B两点间的平均变化率是()A.1B.-1C.2D.-2解析:所求的平均变化率ΔyΔx=1-33-1=-1.答案:B2.已知函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a等于()A.2B.-2C.3D.-3解析:因为f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0a(x+Δx)+3-(ax+3)Δx=a,故f'(1)=a=3.答案:C3.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足limΔx→0f(Δx)Δx=-1,则f'(0)=()A.-2B.-1C.1D.2解析:因为函数f(x)的图象过原点,所以f(0)=0,于是f'(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=-1.答案:B4.(2016济宁高二检测)设曲线y=ax2在点(1,a)处的切线与直线2x-y-6=0平行,则a等于()A.1B.12C.-12D.-1解析:因为y'|x=1=limΔx→0a(1+Δx)2-a×12Δx=limΔx→02aΔx+a(Δx)2Δx=limΔx→0¿(2a+aΔx)=2a,所以2a=2,故a=1.答案:A5.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,则f(1)+2f'(1)的值是()A.12B.1C.32D.2解析:∵(1,f(1))在直线x-2y+1=0上,∴1-2f(1)+1=0,∴f(1)=1.又f'(1)=12,∴f(1)+2f'(1)=1+2×12=2.答案:D6.已知质点运动规律为s=2t2+5,则在时间(3,3+Δt)中,相应的平均速度等于.1解析:平均速度为ΔsΔt=[2(3+Δt)2+5]-(2×32+5)Δt=12+2Δt.答案:12+2Δt7.已知函数f(x)=2x-3,则f'(5)=.解析:因为Δy=f(5+Δx)-f(5)=[2(5+Δx)-3]-(2×5-3)=2Δx,所以ΔyΔx=2,故f'(5)=limΔx→0ΔyΔx=2.答案:28.已知f(x)=x2+ax,f'(1)=4,则曲线f(x)在x=1处的切线方程为.解析:f'(x)=limΔx→0f(x+Δx)-f(x)Δx=limΔx→0[(x+Δx)2+a(x+Δx)]-(x2+ax)Δx=2x+a,f'(1)=2+a=4,得a=2.故f(1)=1+a=3,所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为y-3=4(x-1),即4x-y-1=0.答案:4x-y-1=09.利用导数的定义求函数f(x)=√x+2在x=2处的导数.解:∵Δy=√(2+Δx)+2−√2+2=√4+Δx-2,ΔyΔx=√4+Δx-2Δx=(√4+Δx-2)(√4+Δx+2)Δx(√4+Δx+2)=1√4+Δx+2,∴f'(2)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→01√4+Δx+2=14.10.导学号59254039求曲线f(x)=1x和g(x)=x2在交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积.解:由方程组{y=1x,y=x2,得曲线的交点是A(1,1).由导数的定义,易得f'(x)=-1x2.曲线y=1x在点A处的切线斜率k1=f'(1)=-1,切线方程是l1:y=-x+2.对曲线g(x)=x2求导数,g'(x)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(x+Δx)2-x2Δx=limΔx→02xΔx+(Δx)2Δx=limΔx→0¿(2x+Δx)=2x.曲线y=x2在点A处的切线斜率k2=g'(1)=2,切线方程是l2:y=2x-1.又l1,l2与x轴的交点坐标分别为(2,0),(12,0).所以它们在x轴所围成的三角形的面积S=12×(2-12)×1=34.23
