限时检测提速练(十二)大题考法——坐标系与参数方程A组1．(2018·石家庄一模)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程是(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsinθ－3＝0．(1)求直线l的极坐标方程；(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，求|AB|．解：(1)由消去t得，y＝2x，把代入y＝2x，得ρsinθ＝2ρcosθ，所以直线l的极坐标方程为sinθ＝2cosθ．(2)因为ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4．圆C的圆心C(0，－1)到直线l的距离d＝，所以|AB|＝2＝．2．(2018·石嘴山二模)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(其中t为参数)．现以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝6cosθ．(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若点P坐标为(－1,0)，直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．解：(1)由消去参数t，得直线l的普通方程为x－y＋1＝0，又由ρ＝6cosθ得ρ2＝6ρcosθ，由得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－6x＝0．(2)将代入x2＋y2－6x＝0得t2－4t＋7＝0，则t1＋t2＝4，t1t2＝7＞0，所以|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝4．3．(2018·商丘二模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ＋2sinθ，直线l1：θ＝(ρ∈R)，直线l2：θ＝(ρ∈R)．以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求直线l1，l2的直角坐标方程以及曲线C的参数方程；(2)已知直线l1与曲线C交于O，M两点，直线l2与曲线C交于O，N两点，求△OMN的面积．解：(1)依题意，直线l1的直角坐标方程为y＝x，直线l2的直角坐标方程为y＝x．因为ρ＝4cosθ＋2sinθ，故ρ2＝4ρcosθ＋2ρsinθ，故x2＋y2＝4x＋2y，故(x－2)2＋(y－1)2＝5，故曲线C的参数方程为(α为参数)．(2)联立得到|OM|＝2＋1，同理|ON|＝2＋.又∠MON＝，所以S△MON＝|OM|·|ON|sin∠MON＝，即△OMN的面积为．4．(2018·东莞二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点A的极坐标为．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若点B在曲线C上，|OA||OB|＝2，求∠AOB的大小．解：(1)∵曲线C的普通方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，即x2＋y2－2x－2y＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ＋2sinθ．(2)∵|OA|＝2，|OB|＝ρ，且|OA||OB|＝2，∴cosθ＋sinθ＝，∴sin＝．∴θ＋＝或θ＋＝，θ＝或θ＝，∴∠AOB＝－＝或∠AOB＝－＝．B组1．(2018·辽宁三模)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点M的极坐标是．(1)求直线l的普通方程；(2)求直线l上的点到点M距离最小时的点的直角坐标．解：(1)直线l的普通方程为3x－y－6＝0．(2)点M的直角坐标是(－1，－)，过点M作直线l的垂线，垂足为M′，则点M′即为所求的直线l上到点M距离最小的点．直线MM′的方程是y＋＝－(x＋1)，即y＝－x－－．由解得所以直线l上到点M距离最小的点的直角坐标是．2．(2018·枣庄二模)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)．(1)若a＝1，求直线l被曲线C截得的线段的长度；(2)若a＝11，在曲线C上求一点M，使得点M到直线l的距离最小，并求出最小距离．解：(1)曲线C的普通方程为＋＝1．当a＝1时，直线l的普通方程为y＝2x．由解得或直线l被曲线C截得的线段的长度为＝3．(2)方法一a＝11时，直线l的普通方程为2x－y－10＝0．由点到直线的距离公式，椭圆上的点M(3cosθ，2sinθ)到直线l：2x－y－10＝0的距离为d＝＝＝，其中θ0满足cosθ0＝，sinθ0＝．由三角函数性质知，当θ＋θ0＝0时，d取最小值2－2．此时，3cosθ＝3cos(－θ0)＝，2sinθ＝2sin(－θ0)＝－．因此，当点M位于时，点M到l的距离取最小值2－2．方法二当a＝11时，直线l的普通方程为2x－y－10＝0．设与l平行，且与椭圆＋＝1相切的直线m的方程为2x－y＋t＝0.由消去y并整理得40x2＋36tx＋9t2－36＝0．由判别式Δ＝(36t)2－4×40×(9t2－36)＝0，解得t＝±2．所以，直线m的方程为2x－y＋2＝0，或2x－y－2＝0．要使两平行直线l与m间的距离最小，则直线m的方程为2x－y－2＝0．这时，l与m间的距离d＝＝2－2．此时点M的坐标为方程组的解因此，当点M位于时，点M到直线l的距离取最小值2－2．
