课时作业50直线与圆锥曲线[基础达标]1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.又 P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－.∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0.2.[2019·郑州入学测试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8.(1)求椭圆C的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．解析：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去y，化简整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0.则由Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，得－2b>0)，右焦点为F2(c,0)．因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，所以∠B1AB2＝90°，因此|OA|＝|OB2|，得b＝.由c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝.在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2.由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，所以a2＝5b2＝20.因此所求椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1·y2＝－，又B2P＝(x1－2，y1)，B2Q＝(x2－2，y2)，所以B2P·B2Q＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16＝－－＋16＝－，由PB2⊥QB2，得B2P·B2Q＝0，即16m2－64＝0，解得m＝±2.所以满足条件的直线l有两条，其方程分别为x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.5．[2019·唐山五校联考]在直角坐标系xOy中，长为＋1的线段的两端点C，D分别在x轴、y轴上滑动，CP＝PD.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线与曲线E相交于A，B两点，OM＝OA＋OB，当点M在曲线E上时，求四边形AOBM的面积．解析：(1)设C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．由CP＝PD，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，所以得由|CD|＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，整理，得曲线E的方程为x2＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由OM＝OA＋OB，知点M坐标为(x1＋x2，y1＋y2)．由题意知，直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入曲线E的方程，得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.由点M在曲线E上，知(x1＋x2)2＋＝1，即＋＝1，解得k2＝2.这时|AB|＝|x1－x2|＝＝，原点到直线AB的距离d＝＝，所以平行四边形OAMB的面积S＝|AB|·d＝.6．[2018·天津卷]设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为(b,0)，且|FB|...
