课时作业50直线与圆锥曲线[基础达标]1．过椭圆＋＝1内一点P(3,1)，求被这点平分的弦所在直线方程．解析：设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由于A、B两点均在椭圆上，故＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0
又 P是A、B的中点，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝2，∴kAB＝＝－
∴直线AB的方程为y－1＝－(x－3)．即3x＋4y－13＝0
[2019·郑州入学测试]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8
(1)求椭圆C的方程；(2)如图，斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P(2,1)在直线l的左上方．若∠APB＝90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．解析：(1)由题意知解得所以椭圆C的方程为＋＝1
(2)设直线l：y＝x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立，得消去y，化简整理，得x2＋2mx＋2m2－4＝0
则由Δ＝(2m)2－4(2m2－4)>0，得－20)，右焦点为F2(c,0)．因为△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，所以∠B1AB2＝90°，因此|OA|＝|OB2|，得b＝
由c2＝a2－b2得4b2＝a2－b2，故a2＝5b2，c2＝4b2，所以离心率e＝＝
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|＝·b＝b2
由题设条件S△AB1B2＝4得b2＝4，所以a2＝5b2＝20
因此所求椭圆的标准方程为＋＝1
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由题意知直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为x＝my－2，代入椭圆方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1·y2＝－，又B2P＝(x1－2，y1)
