第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法课后篇巩固提升基础巩固1.下列函数f(x)中,满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1
f(x2)”的是()A.f(x)=1xB.f(x)=(x-1)2C.f(x)=exD.f(x)=ln(x+1)解析本题就是判断哪一个函数在(0,+∞)内是减函数,A项中,f'(x)=(1x)'=-1x2<0,所以f(x)=1x在(0,+∞)内为减函数,其余选项均不符合.答案A2.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明√1+x<1+x2时,索的因是()A.x2>2B.x2>4C.x2>0D.x2>1解析因为x>0,所以要证√1+x<1+x2,只需证(√1+x)2<1+x22,即证00,显然x2>0成立,故原不等式成立.答案C3.命题“如果数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n(n∈N*),那么数列{an}一定是等差数列”是否成立()A.不成立B.成立C.不能断定D.与n取值有关解析当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-5,又a1=S1=2×12-3×1=-1适合上式,所以an=4n-5(n∈N*),则an-an-1=4(常数),故数列{an}是等差数列.答案B4.已知函数f(x)=cos(3x+4θ)是奇函数,则θ等于()A.kπ4+π8(k∈Z)B.kπ+π2(k∈Z)C.kπ(k∈Z)D.kπ4(k∈Z)解析因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)对x∈R恒成立,即cos(-3x+4θ)=-cos(3x+4θ),亦即cos(3x-4θ)+cos(3x+4θ)=0,所以2cos3xcos4θ=0,因此cos4θ=0,4θ=kπ+π2(k∈Z),解得θ=kπ4+π8(k∈Z).答案A5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()1A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-a4+b42≤0C.(a+b)22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0解析 a2+b2-1-a2b2≤0(⇐a2-1)(b2-1)≥0,∴由分析法知选D.答案D6.已知a,b,c为正实数,且a+b+c=1,求证:(1a-1)(1b-1)(1c-1)≥8.证明过程如下:因为a,b,c为正实数,且a+b+c=1,所以1a-1=b+ca>0,1b-1=a+cb>0,1c-1=a+bc>0,所以(1a-1)(1b-1)(1c-1)=b+ca·a+cb·a+bc≥2√bc·2√ac·2√ababc=8.当且仅当a=b=c时取等号,所以不等式成立.这种证法是.解析本题从已知条件出发,不断地展开思考,去探索结论,这种方法是综合法.答案综合法7.平面内有四边形ABCD和点O,且满足⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD,则四边形ABCD为.解析因为⃗OA+⃗OC=⃗OB+⃗OD,所以⃗OA−⃗OB=⃗OD−⃗OC,即⃗BA=⃗CD,故四边形ABCD为平行四边形.答案平行四边形8.在锐角三角形ABC中,求证:tanAtanB>1.证明要证tanAtanB>1,只需证sinAsinBcosAcosB>1,因为A,B均为锐角,所以cosA>0,cosB>0.因此只需证明sinAsinB>cosAcosB,即cosAcosB-sinAsinB<0,只需证cos(A+B)<0.而△ABC为锐角三角形,所以90°1.9.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,点E是PC的中点.(1)证明:CD⊥AE.(2)证明:PD⊥平面ABE.证明(1)在四棱锥P-ABCD中,2因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.因为AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又因为AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为点E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,又PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又因为PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以平面PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.因为PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又因为AB∩AE=A,所以PD⊥平面ABE.10.(1)设a≥b>0,用综合法证明:a3+b3≥a2b+ab2;(2)用分析法证明:已知a,b,m是正实数,且a0,∴a3+b3-(a2b+ab2)≥0,∴a3+b3≥a2b+ab2.(2)因为a,b,m均为正实数,所以欲证abQB.P=QC.P0”是“△ABC为锐角三角形”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析若△ABC为锐角三角形,则A必为锐角,因此一定有⃗AB·⃗AC>0,但当⃗AB·⃗AC>0时,只能得到A为锐角,这时△AB...
