函数的基本性质（二）函数的周期性VIP免费

函数的基本性质(二)基础知识：函数的周期性如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期.一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期.关于函数的周期性，请参考陕西师范大学《高中数学竞赛辅导》(刘诗雄主编)例题：1．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－f(x),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝－f(x)所以，f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝－f(x＋m)＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.2．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝f(x－m),求证:2m是f(x)的一个周期.证明：因为f(x＋m)＝f(x－m)令x－m＝t，则x＋m＝t＋2m于是f(t＋2m)＝f(t)对于t∈R恒成立，所以f(x)是以2m为周期的周期函数.3．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝,求证:2m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]＝f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.4．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(x＋m)＝－,求证:4m是f(x)的一个周期.证明：由已知f(x＋2m)＝f[(x＋m)＋m]于是f(x＋4m)＝－＝f(x)所以f(x)是以4m为周期的周期函数.5．已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x),求证:2|a－b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a＞b于是f(x＋2(a－b))＝f(a＋(x＋a－2b))＝f(a－(x＋a－2b))＝f(2b－x)＝f(b－(x－b))＝f(b＋(x－b))＝f(x)∴2(a－b)是f(x)的一个周期当a＜b时同理可得所以，2|a－b|是f(x)的周期6．已知函数f(x)的定义域为N，且对任意正整数x，都有f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)若f(0)＝2004，求f(2004)解：因为f(x)＝f(x－1)＋f(x＋1)所以f(x＋1)＝f(x)＋f(x＋2)两式相加得0＝f(x－1)＋f(x＋2)即：f(x＋3)＝－f(x)∴f(x＋6)＝f(x)f(x)是以6为周期的周期函数2004＝6×334∴f(2004)＝f(0)＝20047．已知对于任意a，b∈R，有f(a＋b)＋f(a－b)＝2f(a)f(b)，且f(x)≠0⑴求证：f(x)是偶函数；⑵若存在正整数m使得f(m)＝0，求满足f(x＋T)＝f(x)的一个T值(T≠0)⑴证明：令a＝b＝0得，f(0)＝1(f(0)＝0舍去)又令a＝0，得f(b)＝f(－b)，即f(x)＝f(－x)所以，f(x)为偶函数⑵令a＝x＋m，b＝m得f(x＋2m)＋f(x)＝2f(x＋m)f(m)＝0所以f(x＋2m)＝－f(x)于是f(x＋4m)＝f[(x＋2m)＋2m]＝－f(x＋2m)＝f(x)即T＝4m(周期函数)8．数列{an}中，a1＝a，a2＝b，且an＋2＝an＋1－an(n∈N＋)①求a100；②求S100.解：由已知a1＝a，a2＝b，所以a3＝b－a，a4＝－a，a5＝－b，a6＝a－b，a7＝a，a8＝b，……由此可知，{an}是以6为周期的周期数列，于是a100＝a6×16＋4＝a4＝－a又注意到a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0S100＝a1＋a2＋a3＋……＋a96＋a97＋a98＋a99＋a100＝0＋a97＋a98＋a99＋a100＝a1＋a2＋a3＋a4＝a＋b＋(b－a)＋(－a)＝2b－a9．对每一个实数对x,y,函数f(t)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋xy＋1,若f(－2)=－2,试求满足f(a)＝a的所有整数a.解：令x＝y＝0，得f(0)＝－1再令x＝y＝－1，得f(－2)＝2f(－1)＋2，又f(－2)＝－2所以f(－1)＝－2又令x＝1，y＝－1，可得f⑴＝1令x＝y＝1得f⑵＝2f⑴＋1＋1＝4令y＝1，得f(x＋1)＝f(x)＋x＋2即f(x＋1)－f(x)＝x＋2①当x取任意正整数时，f(x＋1)－f(x)＞0又f⑴＝1＞0所以f(x)＞0于是f(x＋1)＝f(x)＋x＋2＞x＋1即对任意大于1的正整数t，f(t)＞t在①中，令x＝－3，得f(－3)＝－1，进一步可得f(－4)＝1注意到f(x)－f(x＋1)＝－(x＋2)所以当x≤－4时，f(x)－f(x＋1)＞0即f(x)＞f(x＋1)＞f(x＋2)＞……＞f(－4)＝1所以x≤－4时，f(x)＞x综上所述，满足f(a)＝a的整数只有a＝1或a＝－210．设f(x)是一个从实数集R到R的一个映射,对于任意的实数x,都有|f(x)|≤1,并且f(x)+,求证:f(x)是周期函数.证明：由已知f(x)+所以即①同理有即)421x(f)4243x(f)427x(f)4249x(f②由①②于是f(x＋1)－f(x)＝f(x＋2)－f(x＋1)，记这个差为d同理f(x＋3)－f(x＋2)＝f(x＋2)－f(x＋1)＝d……f(x＋n＋1)－f(x＋n)＝f(x＋n)－f(x＋n－1)＝……＝f(x＋1)－f(x)＝d即是说数列{f(x＋n)}是一个以f(x)为首项，d为公差的等差数列因此f(x＋n)＝f(x)＋nd＝f(x)＋n[f(x＋1)－f(x)]...