考点规范练36直接证明与间接证明考点规范练B册第22页基础巩固1.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只需证明()A.2ab-1-a2b2≤0B.a2+b2-1-a4+b42≤0C.(a+b)22-1-a2b2≤0D.(a2-1)(b2-1)≥0答案:D解析:在各选项中,只有(a2-1)(b2-1)≥0⇒a2+b2-1-a2b2≤0,故选D.2.分析法又称执果索因法,若用分析法证明“设a>b>c,且a+b+c=0,求证:❑√b2-ac<❑√3a”索的因应是()A.a-b>0B.a-c>0C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0答案:C解析:❑√b2-ac<❑√3a⇔b2-ac<3a2(⇔a+c)2-ac<3a2⇔a2+2ac+c2-ac-3a2<0⇔-2a2+ac+c2<02⇔a2-ac-c2>0(⇔a-c)(2a+c)>0(⇔a-c)(a-b)>0.故选C.3.利用反证法证明“若x2+y2=0,则x=y=0”时,应假设()A.x,y都不为0B.x≠y,且x,y都不为0C.x≠y,且x,y不都为0D.x,y不都为0答案:D解析:原命题的结论是x,y都为零,利用反证法时,应假设x,y不都为零.4.设a,b是两个实数,下列条件中,能推出“a,b中至少有一个大于1”的是()A.a+b>1B.a+b>2C.a2+b2>2D.ab>1答案:B解析:若a=12,b=23,则a+b>1,但a<1,b<1,故A推不出;若a=-2,b=-3,则a2+b2>2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab>1,故D推不出;对于B,若a+b>2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a≤1,且b≤1,则a+b≤2与a+b>2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.5.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于2答案:D解析: a>0,b>0,c>0,∴(a+1b)+(b+1c)+(c+1a)=(a+1a)+(b+1b)+(c+1c)≥6,当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三者不能都小于2,即至少有一个不小于2.6.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减.若x1+x2>0,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负答案:A解析:由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x2>0,可知x1>-x2,即f(x1)b>0,m=❑√a−❑√b,n=❑√a-b,则m,n的大小关系是.答案:mb>0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=❑√a-❑√b❑√a-b与1的大小关系,只需判断a+b-2❑√aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2❑√ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2❑√ab与0的大小关系,只需判断❑√b−❑√a与0的大小关系.由a>b>0,可知❑√b−❑√a<0,即mn<1,即可判断m2❑√2+❑√5解析:要比较❑√6+❑√7与2❑√2+❑√5的大小,只需比较(❑√6+❑√7)2与(2❑√2+❑√5)2的大小,只需比较6+7+2❑√42与8+5+4❑√10的大小,只需比较❑√42与2❑√10的大小,只需比较42与40的大小, 42>40,∴❑√6+❑√7>2❑√2+❑√5.9.设函数f(x)=1x+2,a,b∈(0,+∞).(1)用分析法证明:f(ab)+f(ba)≤23;(2)设a+b>4,求证:af(b),bf(a)中至少有一个大于12.证明(1)要证明f(ab)+f(ba)≤23,只需证明1ab+2+1ba+2≤23,只需证明ba+2b+ab+2a≤23,即证b2+4ab+a22a2+5ab+2b2≤23,即证(a-b)2≥0,这显然成立,所以f(ab)+f(ba)≤23.(2)假设af(b),bf(a)都小于或等于12,即ab+2≤12,ba+2≤12,所以2a≤b+2,2b≤a+2,两式相加得a+b≤4,这与a+b>4矛盾,所以af(b),bf(a)中至少有一个大于12.能力提升10.若△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形B.△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形C.△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形D.△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形答案:D解析:由条件知,△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则△A1B1C1是锐角三角形,且△A2B2C2不可能是直角三角形.假设△A2B2C2是锐角三角形.由{sinA2=cosA1=sin(π2-A1),sinB2=cosB1=sin(π2-B1),sinC2=cosC1=sin(π2-C1),得{A2=π2-A1,B2=π2-B1,C2=π2-C1,则A2+B2+C2=π2,这与三角形内角和为180°相矛盾.因此假设不成立,故△A2B2C2是钝角三角形.11.已知a,b,μ∈(0,+∞),且1a+9b=1,要使得a+b≥μ恒成立,则μ的取值范围是.答案:(0,16]解析: a,b∈(0,+∞),且1a+9b=1,∴a+b=(a+b)·(1a+9b)=10+(9ab+ba)≥10+2❑√9=16(当且仅当a=4,b=12时等号成立).∴a+b的最小值为16.∴要使a...
