第3讲空间向量与立体几何专题强化训练1．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为CD和C1C的中点，则直线AE与D1F所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2，则A(2，0，0)、E(0，1，0)、D1(0，0，2)、F(0，2，1)．所以EA＝(2，－1，0)，D1F＝(0，2，－1)，cos〈EA，D1F〉＝＝＝－.则直线AE与D1F所成角的余弦值为.2．在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选B.以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)，所以A1D＝(0，1，－1)，A1E＝，设平面A1ED的一个法向量为n1＝(1，y，z)，则所以所以n1＝(1，2，2)．因为平面ABCD的一个法向量为n2＝(0，0，1)，所以cos〈n1，n2〉＝＝.即所成的锐二面角的余弦值为.3．(2019·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥OABC中，已知OA，OB，OC两两垂直且相等，点P、Q分别是线段BC和OA上的动点，且满足BP≤BC，AQ≥AO，则PQ和OB所成角的余弦的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B.根据题意，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设OA＝OB＝OC＝2，OB＝(2，0，0)，设P(x，y，0)，Q(0，0，z)，因为BP≤BC，AQ≥AO，所以1≤x≤2，0≤y≤1且x＋y＝2，0≤z≤1，PQ＝(－x，x－2，z)，|cos〈OB，PQ〉|＝＝，1当x＝1，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝；当x＝2，z＝1时，|cos〈OB，PQ〉|＝；当x＝2，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝1.当x＝1，z＝0时，|cos〈OB，PQ〉|＝，结合四个选项可知PQ和OB所成角的余弦的取值范围是.4．(2019·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A1B1C1ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA1＝1，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)，若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为()A.B.C.D.解析：选A.建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，E，G，F(x，0，0)，D(0，y，0)，由于GD⊥EF，所以x＋2y－1＝0，DF＝＝，由x＝1－2y>0，得y<，所以当y＝时，线段DF长度的最小值是，当y＝0时，线段DF长度的最大值是1而不包括端点，故y＝0不能取，故选A.5．已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.解析：选C.如图所示，将直三棱柱ABCA1B1C1补成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝，AD1＝.在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，所以B1D1＝＝，所以cos∠B1AD1＝＝，选择C.6.(2019·杭州市学军中学高考数学模拟)如图，在二面角ACDB中，BC⊥CD，BC＝CD＝2，点A在直线AD上运动，满足AD⊥CD，AB＝3.现将平面ADC沿着CD进行翻折，在翻折的过程中，线段AD长的取值范围是________．解析：由题意得AD⊥DC，DC⊥CB，设平面ADC沿着CD进行翻折过程中，二面角ACDB的夹角为θ，则〈DA，CB〉＝θ，因为AB＝AD＋DC＋CB，所以平方得AB2＝AD2＋DC2＋CB2＋2AD·DC＋2CB·AD＋2DC·CB，设AD＝x，因为BC＝CD＝2，AB＝3，所以9＝x2＋4＋4－4xcosθ，即x2－4xcosθ－1＝0，即cosθ＝.因为－1≤cosθ≤1，所以－1≤≤1，即，即，则因为x>0，所以－2≤x≤＋2，2即AD的取值范围是[－2，＋2]．答案：[－2，＋2]7．(2019·台州市高考模拟)如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，E、F分别为直线AB、CD上的动点，且|EF|＝.若记EF中点P的轨迹为L，则|L|等于________．(注：|L|表示L的测度，在本题，L为曲线、平面图形、空间几何体时，|L|分别对应长度、面积、体积)解析：如图，当E为AB中点时，F分别在C，D处，满足|EF|＝，此时EF的中点P在EC，ED的中点P1，P2的位置上；当F为CD中点时，E分别在A，B处，满足|EF|＝，此时EF的中点P在BF，AF的中点P3，P4的位置上，连接P1P2，P3P4相交于点O，则四点P1，P2，P3，P4共圆，圆心为O，圆的半径为，则EF中点P的轨迹L为以O为圆心，以为半径的圆，其测度|L|＝2π×＝π.答案：π8.(2019·金丽衢十二校联考)如图，在三棱锥DABC中，已知...
