课后限时集训74参数方程建议用时：45分钟1．已知P为半圆C：(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A的坐标为(1,0)，O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为.(1)以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求点M的极坐标；(2)求直线AM的参数方程．[解](1)由已知，点M的极角为，且点M的极径等于，故点M的极坐标为.(2)由(1)知点M的直角坐标为，A(1,0)．故直线AM的参数方程为(t为参数)．2．已知曲线C1：(t为参数)，C2：(θ为参数)．(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值．[解](1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.同理曲线C2的普通方程为＋＝1.C1表示圆心是(－4,3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t＝时，P(－4,4)，又Q(8cosθ，3sinθ)．故M，又C3的普通方程为x－2y－7＝0，则M到直线C3的距离d＝|4cosθ－3sinθ－13|＝|3sinθ－4cosθ＋13|＝|5sin(θ－φ)＋13|.所以d的最小值为.3．在直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于M，N.(1)写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．[解](1)由ρsin2θ＝2acosθ，得ρ2sin2θ＝2aρcosθ，即曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax；由(t为参数)可知直线l过点(－2，－4)，且倾斜角为，∴直线l的斜率等于1，∴直线l的普通方程为y＋4＝x＋2，即y＝x－2.(2)将直线l的参数方程(t为参数)代入y2＝2ax得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0.设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，∵|MN|2＝|PM|·|PN|，∴(t1－t2)2＝(t1＋t2)2－4t1t2＝t1t2，即8(4＋a)2＝5×8(4＋a)．解得a＝1(舍去a＝－4)．4．(2019·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cosθ－sinθ)＝6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出d的最大值．[解](1)由题意知，曲线C2的方程为2＋2＝1，其参数方程为(φ为参数)．直线l的直角坐标方程为2x－y－6＝0.(2)设P(cosφ，2sinφ)，φ∈[0,2π)，则点P到直线l的距离d＝＝，所以当sin＝－1时，d取得最大值2，因为φ∈[0,2π)，所以φ＝，则点P的坐标是.
