课时分层作业(八)等比数列的前n项和(建议用时：40分钟)一、选择题1．数列{2n－1}的前99项和为()A．2100－1B．1－2100C．299－1D．1－299C[数列{2n－1}为等比数列，首项为1，公比为2，故其前99项和为S99＝＝299－1.]2．等比数列1，a，a2，a3，…(a≠0)的前n项和Sn＝()A.B.C.D.C[当a＝1时，Sn＝n；当a≠1时，Sn＝.]3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31B．32C．63D．64C[法一：由(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63.法二：由S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63.]4．在等比数列{an}中，a3＝，其前三项的和S3＝，则数列{an}的公比q＝()A．－B.C．－或1D.或1C[由题意，可得a1q2＝，a1＋a1q＋a1q2＝，两式相除，得＝3，解得q＝－或1.]5．数列{an}的通项公式为an＝，其前10项的和为()A.B.C.D.D[设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝1×1＋2×2＋…＋n×n，两边乘以，Sn＝1×2＋2×3＋…＋n×n＋1，两式相减，Sn＝＋2＋…＋n－n×n＋1＝－n×n＋1＝1－n－n×n＋1，所以Sn＝2－(n＋2)n，所以S10＝2－12×10＝.]二、填空题16．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________.6[∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6.]7．已知等比数列{an}的公比q＝，则＝________.3[∵q＝，∴＝＝3.]8．若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝________.－[显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，又Sn＝·3n＋t，∴t＝－.]三、解答题9．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列．(1)求{an}的公比q；(2)若a1－a3＝3，求Sn.[解](1)依题意有a1＋(a1＋a1q)＝2(a1＋a1q＋a1q2)，由于a1≠0，故2q2＋q＝0.又q≠0，从而q＝－.(2)由已知可得a1－a12＝3，故a1＝4.从而Sn＝＝.10．记Sn为等比数列{an}的前n项和．已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn.[解](1)设{an}的公比为q.由题设可得解得故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝＝－＋(－1)n.11．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N＋)，则a＋a＋…＋a等于()A．(2n－1)2B.(2n－1)2C．4n－1D.(4n－1)D[a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a＝4n－1，所以数列{a}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1)．]12．(多选题)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n∈N＋)，则下列说2法正确的有()A．{an}是等比数列B．{Sn}是等比数列C．a6＝3×44D．a6＝3×44＋1BC[an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1，∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝∴当n＝6时，a6＝3×46－2＝3×44.同理可证Sn＋1＝4Sn，故A错误，B正确，C正确，D错误，所以选BC.]13．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.2[设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n＝，S奇＝.由题意得＝.∴1＋q＝3，∴q＝2.又当q＝1时，不合题意，∴公比q＝2.]14．(一题两空)如果数列{an}满足a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么an＝________，数列{an}的前n项和Sn＝________.2n－12n＋1－n－2[an－an－1＝a1qn－1＝2n－1，即相加得an－a1＝2＋22＋…＋2n－1＝2n－2，故an＝a1＋2n－2＝2n－1.其前n项和Sn＝－n＝2n＋1－n－2.]15．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝2，等比数列{bn}满足b1＝a1，b4＝a4＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Sn.[解](1)由a1＝1，an＋1－an＝2得，an＝2n－1，b1＝1，b4＝8，所以公比q＝2，所以bn＝2n－1.(2)cn＝(2n－1)2n－1，Sn＝1·1＋3·2＋5·22＋…＋(2n－1)2n－1，2Sn＝1·2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－3)·2n－1＋(2n－1)2n，上述两式作差得3－Sn＝1＋2·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n－1－(2n－1)2n，即－Sn＝1＋2－(2n－1)2n，所以Sn＝3－2n(3－2n).4
