高中数学 第4章 导数及其应用 4.1.1 问题探索——求自由落体的瞬时速度 4.1.2 问题探索——求作抛物线的切线应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

4.1.1问题探索——求自由落体的瞬时速度4.1.2问题探索——求作抛物线的切线[A基础达标]1．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1，1＋d]内相应的平均速度为()A．3d＋6B．－3d＋6C．3d－6D．－3d－6解析：选D.平均速度即为s＝5－3t2在[1，1＋d]上的平均变化率，即＝＝－3d－6.2．已知一作直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2，则此物体在t＝2时的瞬时速度为()A．1B．－1C．2D．－2解析：选B.因为s(t＋d)－s(t)＝3(2＋d)－(2＋d)2－3×2＋22＝3d－4d－d2＝－d－d2，所以v(2，d)＝＝－1－d.所以当d趋于0时，瞬时速度v＝－1，所以物体在t＝2时的瞬时速度为－1.3．某质点沿曲线运动的方程y＝－2x2＋1(x表示时间，y表示位移)，则该点从x＝1到x＝2时的平均速度为()A．－4B．－8C．6D．－6解析：选D.令f(x)＝y＝－2x2＋1，则质点从x＝1到x＝2时的平均速度v＝＝＝－6.4．曲线y＝2x2在点(2，8)处的切线斜率为()A．4B．16C．8D．2解析：选C.k(2，d)＝＝＝8＋2d.因为当d趋于0时，表达式趋于8，所以y＝2x2在点(2，8)处的切线斜率为8.5．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为()A．t＝1B．t＝2C．t＝3D．t＝4解析：选B.因为－4(t＋d)2＋16(t＋d)－(－4t2＋16t)＝16d－8td－4d2.又因为某时刻的瞬时速度为零．所以当d趋于0时v(t，d)＝16－8t＝0，解得t＝2.6．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝11C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.k(0，d)＝＝＝d＋a.因为当d趋于0时，表达式趋于a，所以曲线在(0，b)处的切线斜率为a.又因为曲线在(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，所以，解得.7．已知s＝gt2，则t从3秒到3.1秒的平均速度是________．解析：v＝＝3.05g.答案：3.05g8．一物体的运动方程为s＝7t2＋8，则其在t＝________时的瞬时速度为1.解析：v(t0，d)＝＝7d＋14t0.因为当d趋于0时，表达式趋于14t0，所以14t0＝1，所以t0＝.答案：9．函数y＝x2＋4x在x＝x0处的切线斜率为2，求x0的值．解：k(x0，d)＝＝＝2x0＋d＋4，因为当d趋于0时，表达式趋于2x0＋4，所以2x0＋4＝2，所以x0＝－1.10．某物体走过路程s(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数s(t)＝3t2＋2，通过平均速度估计物体在t＝2s时的瞬时速度，并解释它的实际意义．解：当自变量t从2变为2＋d时，平均速度v(2，d)＝＝＝12＋3d.当d趋于0时，表达式趋于12，所以物体在t＝2s时的瞬时速度为12cm/s.瞬时速度为12cm/s的实际意义是：如果物体保持t＝2s这一时刻的速度进行运动的话，每秒将要运动12cm.[B能力提升]11．已知某质点的运动方程是s(t)＝3t2－2t＋1，求质点在t＝10时的瞬时速度的大小．解：因为v(10，d)＝＝3d＋58，所以当d无限趋近于0时，表达式无限趋近于常数58，所以质点在t＝10时的瞬时速度的大小为58.12．(选做题)求证：函数y＝f(x)＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.证明：k(x，d)＝＝＝1－，当d趋于0时，k(x，d)趋于1－，所以y＝x＋图象上任一点处的切线斜率为1－<1.所以y＝x＋图象上的各点处的切线斜率小于1.23