第六课考点突破·素养提升素养一数学运算角度1三角函数的定义域、值域问题【典例1】(1)函数y=的定义域为________,值域为________.【解析】由题意得cosx≥,所以2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z.即函数的定义域是,k∈Z.此时cosx∈,y∈,即y∈,所以值域为.答案:,k∈Z(2)已知f(x)=sin,x∈R.求函数f(x)在区间上的最小值和最大值.【解析】因为当2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ-≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数f(x)=sin单调递增;当2kπ+≤2x-≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z)时,函数单调递减,所以f(x)=sin在区间上为增函数,在区间上为减函数.又f=0,f=,f=-1.故函数f(x)在区间上的最大值为,最小值为-1.【类题·通】(1)求三角函数的定义域问题关键是先列出保证函数式有意义的三角不等式,然后利用三角函数的图象或者单位圆中三角函数线求解.(2)求三角函数的值域常用“整体替换法”或者“换元法”.【加练·固】定义运算a※b为a※b=例如1※2=1,则函数f(x)=sinx※cosx的值域为()A.[-1,1]B.C.D.【解析】选C.根据题设中的新定义,得f(x)=作出函数f(x)在一个周期内的图象,如图可知函数f(x)的值域为.角度2利用三角函数的性质求最值【典例2】(1)(2018·全国卷I)已知函数f=2cos2x-sin2x+2,则()A.f的最小正周期为π,最大值为3B.f的最小正周期为π,最大值为4C.f的最小正周期为2π,最大值为3D.f的最小正周期为2π,最大值为4【解析】选B.f(x)=2cos2x-(1-cos2x)+2=3cos2x+1=,所以f(x)最小正周期为π,最大值为4.(2)已知函数y=asin+b在x∈上的值域为[-5,1],求a,b的值.【解析】因为x∈,所以2x+∈,sin∈.所以当a>0时,解得当a<0时,解得所以a,b的取值分别是4,-3或-4,-1.【类题·通】(1)对于复杂的三角函数化简问题,适当选用三角函数的和差公式、倍角公式对函数解析式进行化简,再通过三角函数的相关性质求出函数的周期与最值,在解题的过程中,要注意应用余弦的倍角公式将式子降次升角,得到最简结果.(2)利用y=Asin(ωx+φ)+k求值域时要注意角的取值范围对函数式取值的影响.【加练·固】已知|x|≤,求函数f(x)=cos2x+sinx的最小值.【解析】y=f(x)=cos2x+sinx=-sin2x+sinx+1.令t=sinx,因为|x|≤,所以-≤sinx≤.则y=-t2+t+1=-+,所以当t=-,即x=-时,f(x)有最小值,且最小值为-+=.角度3给角求值问题【典例3】求值:.【分析】切化弦,然后通分,利用和差公式,约去非特殊角,得到结果.【解析】原式=====2.【类题·通】给角求值问题,主要是利用所学的诱导公式、同角三角函数的基本关系式、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式等,化非特殊角为特殊角,在转化过程中要注意上述公式的正用及逆用.【加练·固】计算:sin50°(1+tan10°)的值.【解析】原式=sin50°=sin50°·=sin50°·2=sin50°·=cos40°·==1.角度4给值求值问题【典例4】(1)设α为锐角,若cos=,求sin的值.(2)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值.【解析】(1)因为α为锐角且cos=,所以sin=.所以sin=sin=sin2cos-cos2sin=sincos-=××-=-=.(2)因为0<β<<α<π,所以-<-β<,<α-<π,所以cos==,sin==,所以cos=cos=coscos+sinsin=×+×=.所以cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.【类题·通】利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式和倍角公式解决给值求值问题时,解决的关键是把所求角用已知角表示.其常见题型一般有两种:(1)当已知角有两个时,所求角一般表示为两个已知角的和或差的形式.(2)当已知角有一个时,此时应着眼于所求角与已知角的和或差的关系,然后应用诱导公式把所求角变成已知角.【加练·固】已知cos+sinα=,求sin.【解析】cos+sinα=cosαcos+sinαsin+sinα=cosα+sinα=sin=.所以sin=,所以sin=sin=-sin=-.角度5给值求角问题【典例5】已知0<α<,0<β<,且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,求α+β的值.【分析】本题主要考查三角函数式的恒等变形及已知三角函数值求角,因为2α+β=α+(α+β),β=(α+β)-α,可先将条件式3sinβ=sin(2α+β)展开后求α+β的正切值.【解析】因为3sinβ=sin(2α+β),即3sin(α+β-α)=sin(α+β+α),整理得2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα.即tan(α+β)=2tanα.又4tan=1-tan2,所以tanα==,tan(α+β)=2tanα=2×=1.又0<α<,0<β<,所以α+β∈,...
