(二)空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a、b、c是空间任意三个向量，λ∈R，下列关系式中不成立的是()A．a＋b＝b＋aB．λ(a＋b)＝λb＋λaC．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)D．b＝λa【解析】只有a，b共线时，b＝λa，故选D.【答案】D2．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标是()A．(12,14,10)B．(10,12,14)C．(14,12,10)D．(4,3,2)【解析】设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．【答案】A3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交【解析】 u＝－2a，∴l⊥α.【答案】B4.如图1，在四面体ABCD中，已知AD＝a，AB＝b，AC＝c，BE＝EC，则DE等于()图1A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．a－b＋cD.a－b＋c【解析】DE＝DC＋CE＝AC－AD＋CB＝AC－AD＋(AB－AC)＝－AD＋AB＋AC＝－a＋b＋c.【答案】A5．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为()A．(－9，－7,7)B．(18,17，－17)C．(9,7，－7)D．(－14，－19,31)【解析】设B(x，y，z)，AB＝(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x－2＝8λ，y＋1＝9λ，z－7＝－12λ，1又(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－7)2＝342，得(17λ)2＝342， λ>0，∴λ＝2.∴x＝18，y＝17，z＝－17，即B(18,17，－17)．【答案】B6．已知向量e1，e2，e3，是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·等于()A．15B．3C．－3D．5【解析】以(e1，e2，e3)为基底，a＝(3,2，－1)，b＝(1,0,2)，(6a)·＝3a·b＝3(3×1＋0×2－2)＝3.【答案】B7．已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是()A．－B．6C．－6D．【解析】 α∥β，∴平面α的法向量与平面β的法向量也互相平行，∴＝＝，∴λ＝6.【答案】B8．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为()A.B．C.D．【解析】以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．设棱长为1，则平面A1BC1的法向量为n＝(1,1,1)，DD1＝(0,0,1)，∴cos〈n，DD1〉＝＝，∴sinθ＝.【答案】A9．如图2，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()图2A.B．C.D．【解析】建立如图所示坐标系，得D(0,0,0)，B(2,2,0)，C1(0,2,1)，B1(2,2,1)，D1(0,0,1)，则DB＝(2,2,0)，DD1＝(0,0,1)，BC1＝(－2,0,1)．设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．2∴∴取n＝(1，－1,0)．设BC1与平面BD1所成的角为θ，则sinθ＝cos〈n，BC1〉＝＝＝.【答案】D10．在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，异面直线B1C与DB所成的角为()A．30°B．60°B．120°D．150°【解析】建立如图所示的坐标系，则B(a,0,0)，B1(a,0，a)，C(a，a,0)，D(0，a,0)，∴B1C＝(0，a，－a)，DB＝(a，－a,0)，∴cos〈B1C，DB〉＝＝＝－，∴〈B1C，DB〉＝120°.∴异面直线B1C和DB所成的角为60°.【答案】B11．在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1⊥底面ABC，点D在棱BB1上，且BD＝1，若AD与平面AA1C1C所成的角为α，则sinα的值是()A.B．C.D．【解析】如图所示，建立坐标系，易求点D，平面AA1C1C的一个法向量是n＝(1,0,0)，所以cos〈n，AD〉＝＝，即sinα＝.【答案】D12.如图3，在四棱锥PABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为()3图3【解析】如图，以D为原点，DA、DC分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系，设M(x，y,0)，设正方形边长为a，则P，C(0，a,0)，则|MC|＝，|MP|＝.由|MP|＝|MC|得x＝2y，所以M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线y＝x.【答案】A二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b...
