§11.3离散型随机变量及其分布列、均值与方差考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.离散型随机变量及其分布列①理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性;②理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用理解2017课标全国Ⅲ,18;2016课标全国Ⅰ,19;2015天津,16;2013课标全国Ⅰ,19解答题★★★2.离散型随机变量的均值与方差理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题掌握2017浙江,8;2014湖南,17;2015福建,16选择题解答题★★★分析解读1.会求简单的离散型随机变量的分布列,理解超几何分布.2.理解数学期望与方差的概念,熟练掌握期望与方差的求解方法.3.分布列、期望及方差均为高考的必考内容.本节在高考中一般以解答题形式出现,分值约为12分,属中高档题.五年高考考点一离散型随机变量及其分布列1.(2013广东,4,5分)已知离散型随机变量X的分布列为X123P则X的数学期望E(X)=()A.B.2C.D.3答案A2.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?解析本题考查随机变量的分布列,数学期望.(1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知P(X=200)==0.2,P(X=300)==0.4,P(X=500)==0.4.因此X的分布列为1X200300500P0.20.40.4(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考虑200≤n≤500.当300≤n≤500时,若最高气温不低于25,则Y=6n-4n=2n;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n.当200≤n<300时,若最高气温不低于20,则Y=6n-4n=2n;若最高气温低于20,则Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n.因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n.所以n=300时,Y的数学期望达到最大值,最大值为520元.3.(2017北京,17,13分)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x和y的数据,并制成下图,其中“*”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y的值小于60的概率;(2)从图中A,B,C,D四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ);(3)试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.(只需写出结论)解析本题考查古典概型,离散型随机变量的分布列与数学期望,方差等知识.(1)由题图知,在服药的50名患者中,指标y的值小于60的有15人,所以从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y的值小于60的概率为=0.3.(2)由题图知,A,B,C,D四人中,指标x的值大于1.7的有2人:A和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==.所以ξ的分布列为ξ012P故ξ的期望E(ξ)=0×+1×+2×=1.(3)在这100名患者中,服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差.4.(2016课标全国Ⅰ,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得...