高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.1.1 椭圆的定义与标准方程应用案巩固提升 湘教版选修2-1-湘教版高二选修2-1数学试题VIP专享VIP免费

2.1.1椭圆的定义与标准方程[A基础达标]1．已知椭圆的焦点为(－1，0)和(1，0)，点P(2，0)在椭圆上，则椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋x2＝1解析：选A.由题意得，c＝1，a＝2，所以b2＝a2－c2＝3.所以椭圆的方程为＋＝1.2．椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，AB是椭圆过焦点F1的弦，则△ABF2的周长是()A．20B．12C．10D．6解析：选A.因为AB过F1，所以由椭圆定义知所以|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20.3．椭圆＋y2＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A．5B．6C．7D．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x，则x＋2＝10，x＝8.4．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2，0)，则椭圆的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C．x2＋＝1D.＋＝1解析：选D.由题意知a2－2＝4，所以a2＝6.所以所求椭圆的方程为＋＝1.5．焦点在坐标轴上，且a2＝13，c2＝12的椭圆的标准方程为()A.＋＝1B.＋＝1或＋＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1或x2＋＝1解析：选D.b2＝a2－c2＝1，分焦点在x轴上或y轴上两种情况，故答案有2个，即＋y2＝1或x2＋＝1，且这两个椭圆的形状完全相同．6．椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．解析：因为2a＝8，所以a＝4，因为2c＝2，所以c＝，所以b2＝1.即椭圆的标准方程为＋x2＝1.答案：＋x2＝17．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上．若|PF1|＝4，则|PF2|＝______，∠F1PF2的大小为______．解析：由|PF1|＋|PF2|＝6，且|PF1|＝4，知|PF2|＝2.在△PF1F2中，cos∠F1PF2＝＝－.所以∠F1PF2＝120°.答案：2120°8．已知椭圆的焦点F1，F2在x轴上，且a＝c，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么椭圆的标准方程为________．1解析：根据椭圆的焦点在x轴上，可设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，根据△ABF2的周长为16得4a＝16，则a＝4，因为a＝c，所以c＝2，则b2＝a2－c2＝16－8＝8.故椭圆的标准方程为＋＝1.答案：＋＝19．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程．解：由已知得圆M的圆心为M(－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左，右焦点的椭圆(点x＝－2除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．10．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)．因为F1A⊥F2A，所以F1A·F2A＝0，而F1A＝(－4＋c，3)，F2A＝(－4－c，3)，所以(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，所以c2＝25，即c＝5.所以F1(－5，0)，F2(5，0)．所以2a＝|AF1|＋|AF2|＝＋＝＋＝4.所以a＝2，所以b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.所以所求椭圆的标准方程为＋＝1.[B能力提升]11．已知椭圆＋＝1的两个焦点F1，F2，M是椭圆上一点，且|MF1|－|MF2|＝1，则△MF1F2是()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选B.由椭圆定义知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4，因为|MF1|－|MF2|＝1，所以|MF1|＝，|MF2|＝.又|F1F2|＝2c＝2，所以|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2，即∠MF2F1＝90°，所以△MF1F2为直角三角形．12．已知椭圆C1：mx2＋y2＝8与椭圆C2：9x2＋25y2＝100的焦距相等，则m的值为________．解析：将椭圆C1化成标准方程为＋＝1，C2化成标准方程为＋＝1.设椭圆C2的焦距为2c，则c2＝－4＝.当椭圆C1的焦点在x轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等．所以－8＝，解得m＝.当椭圆C1的焦点在y轴上时，因为椭圆C1与椭圆C2的焦距相等．2所以8－＝，解得m＝9.综上可知，m＝9或m＝.答案：9或13．如图所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，若△POF2为面积是的正三角形，试求椭圆的标准方程．解：由△POF2为面积是的正三角形得，|PO|＝|PF2|＝|OF2|＝2，所以c＝2.连接PF1，在△POF1中，|PO|＝|OF1|＝2，∠POF1＝120°，所以|PF1|＝2.所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，所以a＝1＋，所以b2＝a2－c2＝4＋2－4＝2.所以所求椭...