题组层级快练(四十)1．(2014·天津文)设{an}是首项为a1，公差为－1的等差数列，Sn为其前n项和，若S1，S2，S4成等比数列，则a1＝()A．2B．－2C.D．－答案D解析S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1－6. S＝S1S4，∴(2a1－1)2＝a1(4a1－6)．∴4a－4a1＋1＝4a－6a1⇒a1＝－.2．在等差数列{an}中，a3＋a11＝8，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6·b8的值为()A．2B．4C．8D．16答案D解析 {an}为等差数列，∴a7＝＝4＝b7.又{bn}为等比数列，b6·b8＝b＝16，故选D.3．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且a1，a3,2a2成等差数列，则等于()A．1＋B．1－C．3＋2D．3－2答案C解析记等比数列{an}的公比为q，其中q>0，则有a3＝a1＋2a2，即a1q2＝a1＋2a1q，q2－2q－1＝0，q＝1±.又q>0，因此q＝1＋.所以＝＝q2＝(1＋)2＝3＋2.选C.4．已知{an}，{bn}均为等差数列，且a2＝8，a6＝16，b2＝4，b6＝a6，则由{an}，{bn}的公共项组成的新数列{cn}的通项公式cn＝()A．3n＋4B．6n＋2C．6n＋4D．2n＋2答案C解析设{an}的公差为d1，{bn}的公差为d2，则d1＝＝＝2，d2＝＝＝3.∴an＝a2＋(n－2)×2＝2n＋4，bn＝b2＋(n－2)×3＝3n－2.∴数列{an}为6,8,10,12,14,16,18,20,22，…，数列{bn}为1,4,7,10,13,16,19,22，….∴{cn}是以10为首项，以6为公差的等差数列．∴cn＝10＋(n－1)×6＝6n＋4.5．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，且an，an＋1是函数f(x)＝x2－bnx＋2n的两个零点，则b10等于()A．24B．32C．48D．64答案D解析依题意有anan＋1＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1.两式相除，得＝2.所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…也成等比数列．而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2·24＝32，a11＝1·25＝32.又因为an＋an＋1＝bn，所以b10＝a10＋a11＝64.6．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则a＋b＋c的值为()121abcA.1B．2C．3D．4答案A解析由题意知，a＝，b＝，c＝.故a＋b＋c＝1，故选A.7．数列{an}是等差数列，若a1，a3，a4是等比数列{bn}中的连续三项，则数列{bn}的公比为________．答案或1解析设数列{an}的公差为d，由题可知，a＝a1·a4，可得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，整理得(a1＋4d)d＝0，解得d＝0或a1＝－4d.当d＝0时，等比数列{bn}的公比为1；当a1＝－4d时，a1，a3，a4分别为－4d，－2d，－d，所以等比数列{bn}的公比为.8．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则等比数列{an}的公比为________．答案解析设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由4S2＝S1＋3S3，得4(a1＋a1q)＝a1＋3(a1＋a1q＋a1q2)，即3q2－q＝0.∴q＝.9．一个数字生成器，生成规则如下：第1次生成一个数x，以后每次生成的结果可将上一次生成的每一个数x生成两个数，一个是－x，另一个是x＋3.设第n次生成的数的个数为an，则数列{an}的前n项和Sn＝________；若x＝1，前n次生成的所有数中不同的数的个数为Tn，则T4＝________.答案2n－1,10解析由题意可知，依次生成的数字个数是首项为1，公比为2的等比数列，故Sn＝＝2n－1.当x＝1时，第1次生成的数为1，第2次生成的数为－1,4，第3次生成的数为1,2；－4,7，第4次生成的数为－1,4；－2，5；4，－1；－7,10.故T4＝10.10．(2015·吉林实验中学一模)在直角坐标平面内，已知点P1(1,2)，P2(2,22)，P3(3,23)，…，Pn(n,2n)，….若n为正整数，则向量P1P2＋P3P4＋P5P6＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为________．答案(4n－1)解析PkPk＋1＝(k＋1－k,2k＋1－2k)＝(1,2k)，于是P1P2＋P3P4＋P5P6＋…＋P2n－1P2n的纵坐标为2＋23＋25＋…＋22n－1＝＝(4n－1)．11．在等差数列{an}和等比数列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8.{an}的前10项和S10＝55.(1)求an和bn；(2)现分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，写出相应的基本事件，并求这两项的值相等的概率．答案(1)an＝n，bn＝2n－1(2)解析(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q.依题意得S10＝10＋d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分别从{an}和{bn}的前3项中各随机抽取一项，得到的基本事件有9个：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合题意的基本事件...
