第7讲不等式的恒成立与存在性问题1.(2017镇江高三期末)已知函数f(x)=x2-kx+4,对任意x∈[1,3],不等式f(x)≥0恒成立,则实数k的最大值为.2.若对任意x∈(0,+∞),y∈(0,+∞),(m-1)x+my≥2√2xy恒成立,则实数m的最小值为.3.(2018江苏海安高级中学高三上学期阶段测试)已知不等式(ax+3)(x2-b)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立,其中a,b是整数,则a+b的取值集合为.4.(2018徐州铜山高三第三次模拟)当0
0,关于x的不等式NN,M-N的最小值为1,则ab的最小值为.6.(2018江苏海安高级中学阶段检测)记数列{an}的前n项和为Sn,若不等式an2+Sn2n2≥ma12对任意等差数列{an}及任意正整数n都成立,则实数m的最大值为.7.已知函数f(x)=x2+2ax-a+2.(1)若∀x∈R,f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(2)若∀x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围;(3)若∃x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.8.对于定义在区间D上的函数f(x),若存在正整数k,使不等式1k0,y>0)时等号成立,∴m≥2,即m的最小值为2.3.答案{-2,8}解析当b≤0时,由(ax+3)(x2-b)≤0得到ax+3≤0在x∈(0,+∞)上恒成立,则a不存在;当b>0时,由(ax+3)(x2-b)≤0,可设f(x)=ax+3,g(x)=x2-b,又函数f(x)、g(x)的大致图象如图所示,那么由题意可知:{a<0,-3a=√b,再由a,b是整数得到{a=-1,b=9或{a=-3,b=1.因此a+b=8或-2.故a+b的取值集合为{-2,8}.4.答案00可得log2a3x-4≥x2-x,即x2-(3log2a+1)x+4log2a≤0在R上有解,则Δ=(3log2a+1)2-16log2a≥0,解得log2a≤19或log2a≥1,则00在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增.∵f(0)=a-1b+1,f(1)=3a-23b+2,f(x)在(0,1)上的值域为(a-1b+1,3a-23b+2).∵N1时,f(x)在x∈[-1,1]上单调递增,则f(x)min=f(-1)=3-3a≥0,a≤1,舍去;当-1≤a≤1时,f(x)min=f(-a)=-a2-a+2≥0,-2≤a≤1,则-1≤a≤1;当a<-1时,f(x)在x∈[-1,1]上单调递减,则f(x)min=f(1)=a+3≥0,a≥-3,则-3≤a<-1.综上可得实数a的取值范围是[-3,1].(3)x∈[-1,1],f(x)≥0∃恒成立,则f(x)max≥0,x∈[-1,1].当a≥0时,f(x)max=f(1)=a+3≥0,a≥-3,则a≥0;当a<0时,f(x)max=f(-1)=3-3a≥0,a≤1,则a<0.综上可得实数a的取值范围是R.8.解析(1)因为f(x)=a|x|是D(3)型函数,所以13(13|x|)max=13,所以a取值范围为13,1.(2)g(x)是D(2)型函数.证明如下:①先证明g(x)<2.记h(x)=x2+x+2ex,0h(2)=8e2>1,所以x2+x+2ex>1,即ex-x2-x<2,所以g(x)<2成立.②再证明g(x)>12.记r(x)=x2+x+12ex,00,当x012,只要证r(x)<1,只要证r(x)max<1,即证2x02ex0<1,即证(√2x0)21时,有lnx1,所以p'(x)=1x-12-12x2=-(x-1)22x2<0,所以p(x)在(1,+∞)上为减函数,所以p(x)12.由①②得12
