6.2.4向量的数量积课后篇巩固提升基础达标练1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于()A.9B.0C.-3D.-9解析由已知得p·q=3×3×cos180°=-9.答案D2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=()A.B.C.13D.21解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,所以|a+b|=.答案A3.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若,则AB的长为()A.B.1C.D.2解析设AB的长为a,因为,所以·()=||2+=1+1··cos120°=,解得a=2.答案D4.(2019全国Ⅰ高考)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.B.C.D.解析因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2.设a与b的夹角为θ,则cosθ=,所以a与b的夹角为,故选B.答案B5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列命题中是真命题的有()A.|a·b|=|a||b|⇔a∥bB.a,b反向⇔a·b=-|a||b|C.a⊥b⇔|a+b|=|a-b|D.|a|=|b|⇔|a·c|=|b·c|解析A. a·b=|a||b|cosθ(θ为a与b的夹角),∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cosθ|=1,∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故命题A是真命题.B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cosπ=-|a||b|且以上各步均可逆.故命题B是真命题.C.当a⊥b时,将向量a,b的起点移至同一点,则以向量a,b为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故命题C是真命题.D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故命题D是假命题.答案ABC6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|=.解析|2a-b|=.又a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;当θ=180°时,a·b=-2.故|2a-b|=0或4.答案0或47.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是.解析(方法一)=||||cos(180°-∠B)=-||||cos∠B=-|||=-||2=-1.(方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,而||cos∠ABC=||,所以=-||2=-1.答案-18.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.证明(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°-|b||c|cos120°=1×1×-1×1×=0,故(a-b)⊥c.9.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1.(1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|;(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=.(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0.所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1,所以cosθ=.又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为.能力提升练1.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为()A.1B.2C.3D.5解析 |a|=2,|b|=1,∴|a-b|=,又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],∴|a-b|的最大值为3.答案C2.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有()A.a·c-b·c=(a-b)·cB.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直C.|a|-|b|<|a-b|D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2解析根据向量数量积的分配律知,A正确;因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.答案ACD3.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是.解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)4.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状?解 a+b+c+d=0,∴a+b=-(c+d),∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2.①同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2.②①-②,得|b|2=|d|2,①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,即|b|=...
