考点30空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2017·全国丙卷·文科·T10)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC【命题意图】本题考查直线间的位置关系,考查学生的空间想象能力和推理能力.【解析】选C.根据三垂线逆定理,平面内的线垂直平面的斜线,那也垂直于斜线所在平面内的射影.A,若A1E⊥DC1,那么D1E⊥DC1,显然不成立.B,若A1E⊥BD,那么BD⊥AE,显然不成立.C,若A1E⊥BC1,那么BC1⊥B1C成立,反过来BC1⊥B1C,也能推出A1E⊥BC1.D,若A1E⊥AC,那么AE⊥AC,显然不成立.2.(2017·全国甲卷理科·T10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.B.C.D.【命题意图】线线的位置关系和余弦定理的知识.通过求角的余弦值考查了学生的线与线的位置关系的判断以及运算求解能力.【解析】选C.补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图所示,连接BD,DC1,则所求角为∠BC1D,因为BC1=,BD==,C1D=AB1=,因此,cos∠BC1D==.【误区警示】本题易对两异面直线AB1与BC1所成角找不准导致计算错误.3.(2017·全国乙卷文科·T6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()【命题意图】本题主要考查线面平行的判定定理以及空间想象能力,属容易题.【解析】选A.由B,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;由C,AB∥MQ,则直线AB∥平面MNQ;由D,AB∥NQ,则直线AB∥平面MNQ.A不满足,故选A.【反思总结】证明线面平行的常用方法:①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.4.(2017·浙江高考·T9)如图,已知正四面体D-ABC(所有棱长均相等的三棱锥),P,Q,R分别为AB,BC,CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D-PR-Q,D-PQ-R,D-QR-P的平面角为α,β,γ,则()A.γ<α<βB.α<γ<βC.α<β<γD.β<γ<α【解析】选B.如图1,过点D作DO⊥平面ABC,垂足为点O,再过点O分别作PQ,QR,RP的垂线段,垂足分别为点F,G,E,则tanα=,tanβ=,tanγ=,将底面的平面图展开如图2所示,以P为原点建立平面直角坐标系,不妨设A(-1,0),则B(1,0),C(0,),因为AP=PB,==2,所以Q,R,则lRP:y=-x,lPQ:y=2x,lRQ:y=x+,根据点到直线的距离公式,知OE=,OF=,OG=,所以OE>OG>OF,tanα|===,cosβ=|cos|===.①,当直线AB与a成60°角时,有cosα==,解得|cosθ|=,所以|sinθ|=,此时AB与b的夹角β的余弦值为cosβ==,所以AB与b的夹角为60°.故①错误.②由①分析得AB与b的夹角为60°,故②正确.③直线AB与a所成角的余弦值为cosα=,当cosα越大时,角α就越小,而的最大值为=,即cosα的最大值为,α的最小值为45°,即直线AB与a所成角的最小值为45°,故③正确.④,直线AB与a所成角的余弦值为cosα=,当cosα越小时,角α就越大,而的最小值为0,cosα的最小值为0,α的最大值为90°,即直线AB与α所成角的最大值为90°,故...
