解答题专项训练四1.[2017·南京检测]如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点．(1)求证：BF∥平面A1EC；(2)求证：平面A1EC⊥平面ACC1A1.证明(1)连接AC1交A1C于点O，连接OE，OF，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形ACC1A1为平行四边形，所以OA＝OC1.又因为F为AC中点，所以OF∥CC1且OF＝CC1.因为E为BB1中点，所以BE∥CC1且BE＝CC1.所以BE∥OF且BE＝OF，所以四边形BEOF是平行四边形，所以BF∥OE.又BF⊄平面A1EC，OE⊂平面A1EC，所以BF∥平面A1EC.(2)由(1)知BF∥OE，因为AB＝CB，F为AC中点，所以BF⊥AC，所以OE⊥AC.又因为AA1⊥底面ABC，而BF⊂底面ABC，所以AA1⊥BF.由BF∥OE，得OE⊥AA1，而AA1，AC⊂平面ACC1A1，且AA1∩AC＝A，所以OE⊥平面ACC1A1.因为OE⊂平面A1EC，所以平面A1EC⊥平面ACC1A1.2．[2017·株洲市模拟]如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，∠PCD＝90°，PA＝AB＝AC＝2.(1)求证：AC⊥CD；(2)点E是棱PC的中点，求点B到平面EAD的距离．解(1)证明：因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD，因为∠PCD＝90°，所以PC⊥CD，所以CD⊥平面PAC，所以CD⊥AC.(2)因为PA＝AB＝AC＝2，E为PC的中点，所以AE⊥PC，AE＝.由(1)知AE⊥CD，所以AE⊥平面PCD.作CF⊥DE，交DE于点F，则CF⊥AE，CF⊥平面EAD.因为BC∥AD，所以点B与点C到平面EAD的距离相等，CF即为点C到平面EAD的距离．在Rt△ECD中，CF＝＝＝.所以，点B到平面EAD的距离为.3．[2016·浙江高考]如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.(1)求证：BF⊥平面ACFD；(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值．解(1)证明：延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK，因此BF⊥AC.又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK.所以BF⊥平面ACFD.(2)因为BF⊥平面ACK，所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角．在Rt△BFD中，BF＝，DF＝，得cos∠BDF＝，所以直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为.4．[2017·抚州市模拟]如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB＝30°，PD⊥平面ABCD，AD＝2，点E为AB上一点，且＝m，点F为PD的中点．(1)若m＝，证明：直线AF∥平面PEC；(2)是否存在一个常数m，使得平面PED⊥平面PAB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．解(1)证明：作FM∥CD交PC于点M，连接ME. 点F为PD的中点，∴FM＝CD. m＝，∴AE＝AB＝FM，又FM∥CD∥AE，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM. AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC.(2)存在常数m＝，使得平面PED⊥平面PAB.要使平面PED⊥平面PAB，只需AB⊥DE.此时AB＝AD＝2，∠DAB＝30°，∴AE＝ADcos30°＝.又 PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AB. PD∩DE＝D，∴AB⊥平面PDE. AB⊂平面PAB，∴平面PDE⊥平面PAB，因此m＝＝.5．[2015·陕西高考]如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝，AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1－BCDE.(1)证明：CD⊥平面A1OC；(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1－BCDE的体积为36，求a的值．解(1)证明：在图1中，因为AB＝BC＝AD＝a，E是AD的中点，∠BAD＝，所以BE⊥AC，即在图2中，BE⊥A1O，BE⊥OC，从而BE⊥平面A1OC，又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.(2)由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，且平面A1BE∩平面BCDE＝BE，又由(1)，A1O⊥BE，所以A1O⊥平面BCDE，即A1O是四棱锥A1－BCDE的高．由图1知，A1O＝AB＝a，平行四边形BCDE的面积S＝BC·AB＝a2.从而四棱锥A1－BCDE的体积为V＝S·A1O＝×a2×a＝a3，由a3＝36，得a＝6.6．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面AA1B1B⊥平面ABC，D是AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若∠A1AB＝∠ACB＝60°，AB＝BB1，AC＝2，BC＝1，求三棱锥A1－ABD的体积．解(1)证明：连接AB1交A1B于点O，则O为AB1的中点，连接DO. D是AC的中点，∴DO为△ACB1的中位线，∴OD∥B1C.又OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2) AC＝2，BC＝1，∠ACB＝60°，∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝3，...
