3.2一、选择题1．设－3π<α<－，则化简的结果是()A．sinB．cosC．－cosD．－sin[答案]C[解析]∵－3π<α<－π，∴－π<<－π，∴cos<0，∴原式＝＝|cos|＝－cos.2．若sinα＋sinβ＝(cosβ－cosα)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于()A．－πB．－C.D.π[答案]D[解析]∵α，β∈(0，π)，∴sinα＋sinβ>0.∴cosβ－cosα>0，cosβ>cosα，又在(0，π)上，y＝cosx是减函数．∴β<α∴0<α－β<π由原式可知：2sin·cos＝(－2sin·sin)，∴tan＝，∴＝，∴α－β＝.3．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是()A．等边三角形B．等腰三角形C．不等边三角形D．直角三角形[答案]B[解析]∵sinBsinC＝cos2，∴sinBsinC＝，即2sinBsinC＝1－cos(B＋C),2sinBsinC＝1－cosBcosC＋sinBsinC，即cosBcosC＋sinBsinC＝1，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.4．在△ABC中，若B＝30°，则cosAsinC的取值范围是()A．[－1,1]B．[－，]C．[－，]D．[－，][答案]C[解析]cosAsinC＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)，∵－1≤sin(A－C)≤1，∴cosAsinC∈[－，]．5．已知cos2α－cos2β＝a，那么sin(α＋β)·sin(α－β)等于()A．－B.C．－aD．a[答案]C[解析]法一：sin(α＋β)sin(α－β)＝(sinαcosβ＋cosαsinβ)(sinαcosβ－cosαsinβ)＝sin2αcos2β－cos2αsin2β＝(1－cos2α)cos2β－cos2α(1－cos2β)＝cos2β－cos2α＝－a，故选C.法二：原式＝－(cos2α－cos2β)＝－(2cos2α－1－2cos2β＋1)＝cos2β－cos2α＝－用心爱心专心1a.6．函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx的最大值是()A．2B.C.D.[答案]C[解析]f(x)＝cosx(cosx＋sinx)＝cosx·(cosx＋sinx)＝cosxsin(x＋)＝[sin(2x＋)＋sin]＝sin(2x＋)＋∴当sin(2x＋)＝1时，f(x)取得最大值即f(x)max＝×1＋＝.7．若＝－，则cosα＋sinα的值为()A．－B．－C.D.[答案]C[解析]法一：原式左边＝＝＝－2cos＝－(sinα＋cosα)＝－，∴sinα＋cosα＝，故选C.法二：原式＝＝＝－(sinα＋cosα)＝－，∴cosα＋sinα＝，故选C.8．设5π<θ<6π，cos＝a，则sin等于()A.B.C．－D．－[答案]D[解析]∵5π<θ<6π，∴<<，∴sin＝－＝－.9．(09·江西文)函数f(x)＝(1＋tanx)cosx的最小正周期为()A．2πB.C．πD.[答案]A[解析]因为f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx＝2cos，所以f(x)的最小正周期为2π.10．已知－＜α＜－π，则的值为()A．－sinB．cosC．sinD．－cos[答案]A[解析]原式＝＝＝＝|sin|＝－sin，∴选A.二、填空题11．若cos2α＝m(m≠0)，则tan＝________.[答案][解析]∵cos2α＝m，∴sin2α＝±，∴tan＝用心爱心专心2＝＝.12.－的值为________．[答案]4[解析]原式＝－＝＝＝4.13．已知α、β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.[答案]1[解析]tanβ＝＝＝tan，∵－α，β∈且y＝tanx在上是单调增函数，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.三、解答题14．求sin42°－cos12°＋sin54°的值．[解析]sin42°－cos12°＋sin54°＝sin42°－sin78°＋sin54°＝－2cos60°sin18°＋sin54°＝sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°＝＝＝＝＝.15．求cos＋cos＋cos的值．[解析]cos＋cos＋cos＝·＝＝＝－.16．方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两根能否是一个直角三角形的两个锐角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，请说明理由．[解析]设直角三角形两锐角分别为α、β，设已知方程的两根为x1、x2，则x1＝sinα，x2＝sinβ＝sin＝cosα由韦达定理得：x1＋x2＝sinα＋cosα＝sinx1·x2＝sinα·cosα＝sin2α于是有，即，∴，易知该混合组无解．故原方程的两个根不可能是一个直角三角形的两个锐角的正弦值．[点评]此题易产生下面错解．设直角三角形的两个锐角分别为α和β.已知方程的两根为x1和x2，则x1＝sinα，x2＝sinβ.又α与β互余，∴x2＝sin＝cosα.由sin2α＋cos2α＝1得x＋x＝1⇒(x1＋x2)2－2x1x2＝1.由韦达定理得：2－2·＝1⇒9k2－8k－20＝0.解得：k1＝2，k2＝－.错因是忽视了一元二次方程有实根应满足Δ≥0，锐角的三角函数值应为正值的条件．事实上，当k＝2时，原方程可化为8x2＋12x＋5＝0，此时Δ<0，方程无实根．当k＝－时，原方程化为：8x2－x－＝0，此时x1x2＝－，即sinαcosα＝－.∵α是锐角，∴该式显然不成立．用心爱心专心317．求函数y＝cos3x·cosx的最值．[解析]y＝cos3x·cosx＝(cos4x＋cos2x)＝(2cos22x－1＋cos2x)＝cos22x＋cos2x－＝2－.∵cos2x∈[－1,1]，∴当cos2x＝－时，y取得最小值－；当cos2x＝1时，y取得最大值1.用心爱心专心4
