数列的综合问题1．(2018·北京卷)设{an}是等差数列，且a1＝ln2，a2＋a3＝5ln2.(1)求{an}的通项公式；(2)求ea1＋ea2＋…＋ean.(1)设{an}的公差为d.因为a2＋a3＝5ln2，所以2a1＋3d＝5ln2.又a1＝ln2，所以d＝ln2.所以an＝a1＋(n－1)d＝nln2.(2)因为ea1＝eln2＝2，＝ean－an－1＝eln2＝2，所以数列{ean}是首项为2，公比为2的等比数列，所以ea1＋ea2＋…＋ean＝＝2(2n－1)＝2n＋1－2.2．(2018·郑州三模)已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若a2＋a8＝22，且a4，a7，a12成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若Tn＝＋＋…＋，证明：Tn<.(1)因为{an}为等差数列，且a2＋a8＝22，所以a5＝(a2＋a8)＝11.由a4，a7，a12成等比数列，得a＝a4·a12，即(11＋2d)2＝(11－d)·(11＋7d)，因为d≠0，所以d＝2，所以a1＝11－4×2＝3，故an＝2n＋1(n∈N*)．(2)证明：因为Sn＝＝n(n＋2)，所以＝＝(－)，所以Tn＝＋＋…＋＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)]＝(1＋－－)＝－(＋)<，故Tn<.3．(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.(1)求通项公式an；(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．(1)由题意得则又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3，当n≥3时，Tn＝3＋－＝，又当n＝2时，T2＝3也满足上式．所以Tn＝4．(2018·石家庄一模)已知数列是{an}满足：a1＝1,an＋1＝an＋.(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.(1)由an＋1＝an＋，可得＝＋，又因为bn＝，所以bn＋1－bn＝.由a1＝1，得b1＝1.累加可得：(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋＝1－，所以bn－b1＝1－，因为b1＝1，所以bn＝2－.(2)由(1)可得an＝2n－，设数列{}的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，所以Tn＝4－，又2(1＋2＋…＋n)＝n(n＋1)，所以Sn＝n(n＋1)－4＋.
