第二章2.2第1课时空间向量的线性运算一、选择题1．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以惟一表示为p＝xa＋yb＋zC．其中正确命题的个数为()A．0B．1C．2D．3[答案]A2．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．1B．0C．3D．[答案]D3．空间的任意三个向量a、b、3a－2b，它们一定是()A．共线向量B．共面向量C．不共面向量D．既不共线也不共面向量[答案]B4．已知空间四边形ABCD，连接AC、BD，设M、G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD等于()A．DBB．3MGC．3GMD．2MG[答案]B[解析]MG－AB＋AD＝MG－(AB－AD)＝MG－DB＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.5．直三棱柱ABC－A1B1C1中，若CA＝a，CB＝b，CC1＝c，则A1B＝()A．a＋b－cB．a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c[答案]D6．已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点E是A′C′的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则AF等于()A．AA′＋AB＋ADB．AA′＋AB＋ADC．AA′＋AB＋ADD．AA′＋AB＋AD[答案]D[解析]由条件AF＝EF知，EF＝2AF，∴AE＝AF＋EF＝3AF，∴AF＝AE＝(AA′＋A′E)＝(AA′＋A′C′)＝AA′＋(A′D′＋A′B′)＝AA′＋AD＋AB.二、填空题7．已知四边形ABCD为矩形，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，G为△PCD的重心，若AG＝xAB＋yAD＋zAP，则x＝________________，y＝________________，z＝________________.[答案][解析]AG＝AP＋PG＝AP＋[(AD－AP)＋(AD＋AB－AP)]＝AP＋(AD－AP＋AD＋AB－AP)＝AP＋AD＋AB.∴x＝，y＝，z＝.8．在四面体O—ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________________(用a、b、c表示)．[答案]a＋b＋C．[解析]如图所示， E为AD的中点，根据向量的平行四边形法则，得OE＝(OA＋OD)，同理可得OD＝(OB＋OC)，∴OE＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋C．三、解答题9．如图，在空间四边形ABCD中，E、F分别是AD与BC的中点，求证：EF＝(AB＋DC)．[证明]EF＝ED＋DC＋CF＝AD＋DC＋CB＝(AB＋BD)＋DC＋CB＝AB＋DC＋(CB＋BD)＝AB＋DC＋CD＝(AB＋DC)．10．设e1、e2是平面上不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A、B、D三点共线，试求实数k的值．[解析]因为BD＝CD－CB＝e1－4e2，AB＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得＝，所以k＝－8.一、选择题1．已知G为正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，则PA＋PB＋PC＋PD等于()A．PGB．2PGC．3PGD．4PG[答案]D2．正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1A．①②B．②③C．③④D．①④[答案]A[解析]①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；③(AD－AB)－DD1＝BD－DD1＝B1D；④(B1D1－A1A)＋DD1＝BD1＋DD1.故选A．3．下列说法正确的是()A．以三个向量为棱一定可以作一个平行六面体B．设平行六面体的三条棱为AB、AA1、AD，则这一平行六面体的对角线所对应的向量是AB＋AA1＋ADC．若OP＝(PA＋PB)成立，则点P一定是线段AB的中点D．在空间中，若AB与CD是共线向量，则A，B，C，D四点共面[答案]D4．空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则MN等于()A．a－b＋cB．－a＋b＋cC．a＋b－cD．a＋b－c[答案]B二、填空题5．已知空间中有两点A、B，存在一动点P，对于空间中任意一点O，有OP＝αOA＋βOB，其中α＋β＝1，则点P的轨迹是__________________．[答案]过A、B两点的一条直线．[解析] α＋β＝1，∴P、A、B三点共线，∴点P的轨迹是过点A、B的一条直线6．(2015·北京理，13)在△ABC中，点M，N满足AM＝2MC，BN＝NC.若MN＝xAB＋yAC，则x＝________________，y＝________________.[答案]；－[解析]由题意知MN＝MC＋CN＝AC＋(AB－AC)＝AB－AC∴x＝，y＝特殊化，不妨设AC⊥AB，AB＝4，AC＝3，利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立直角坐标系，A(0,0)，M(0,2)...
