高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第3课时 三角形中的几何计算练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第一章解三角形1.2应用举例第3课时三角形中的几何计算A级基础巩固一、选择题1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cosC＝，则△ABC的面积是()A．8B．6C．4D．2解析：因为cosC＝，C∈(0，π)，所以sinC＝，所以S△ABC＝absinC＝×5×4×＝6.答案：B2．在△ABC中，三边a，b，c与面积S的关系式为a2＋4S＝b2＋c2，则角A为()A．45°B．60°C．120°D．150°解析：4S＝b2＋c2－a2＝2bccosA，所以4·bcsinA＝2bccosA，所以tanA＝1，又因为A∈(0°，180°)，所以A＝45°.答案：A3．在△ABC中，A＝60°，AB＝1，AC＝2，则S△ABC的值为()A.B.C.D．2解析：S△ABC＝AB·AC·sinA＝.答案：B4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tanC等于()A.B．－C．－2D．－2解析：S△ABC＝acsinB＝·1·c·＝，所以c＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝13，所以b＝，所以cosC＝＝－，所以sinC＝，所以tanC＝＝－＝－2.答案：C5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cosA＝，则△ABC的面积等于()A.B.C．2D．3解析：因为b2－bc－2c2＝0，所以(b－2c)(b＋c)＝0，所以b＝2c.由a2＝b2＋c2－2bccosA，解得c＝2，b＝4，因为cosA＝，所以sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×4×2×＝.1答案：A二、填空题6．△ABC中，下述表达式：①sin(A＋B)＋sinC；②cos(B＋C)＋cosA表示常数的是________．解析：①sin(A＋B)＋sinC＝sin(π－C)＋sinC＝2sinC，不是常数；②cos(B＋C)＋cosA＝cos(π－A)＋cosA＝0，是常数．答案：②7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．解析：因为a－b＝4，所以a＞b，又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.所以最大角为A，所以A＝120°，所以cosA＝＝－，所以b2＋c2－a2＝－bc，所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，所以b＝10，所以a＝14，c＝6.故周长为30.答案：308．在△ABC中，若A＝60°，b＝16，此三角形的面积S＝220，则a的值为________．解析：因为bcsinA＝220，所以c＝55，又a2＝b2＋c2－2bccosA＝2401.所以a＝49.答案：49三、解答题9．某市在进行城市环境建设时，要把一个三角形的区域改造成一个公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为70m，90m，120m，这个区域面积是多少？解：设a＝70m，b＝90m，c＝120m.根据余弦定理的推论，cosB＝＝＝，sinB＝＝.应用S＝casinB，得S＝×120×70×＝1400(m2)，即这个区域的面积为1400m2.10．在△ABC中，c＝2，a>b，tanA＋tanB＝5，tanA·tanB＝6，试求a，b及△ABC的面积．解：因为tanA＋tanB＝5，tanA·tanB＝6，且a>b，所以A>B，tanA>tanB，所以tanA＝3，tanB＝2，A，B都是锐角．所以sinA＝，cosA＝，cosB＝，sinB＝，2所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝.由正弦定理＝＝得，a＝，b＝，所以S△ABC＝absinC＝×××＝.B级能力提升1．在△ABC中，若cosB＝，＝2，且S△ABC＝，则b等于()A．4B．3C．2D．1解析：依题意得：c＝2a，b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋(2a)2－2×a×2a×＝4a2，所以b＝c＝2a.因为B∈(0，π)，所以sinB＝＝，又S△ABC＝acsinB＝××b×＝，所以b＝2.答案：C2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．解析：由正弦定理得1＋·＝，即＝，所以cosA＝，A∈，A＝，sinA＝，由＝得sinC＝，又c