3.2.2复数代数形式的乘除运算[课时作业][A组基础巩固]1．(2014·高考山东卷)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝()A．5－4iB．5＋4iC．3－4iD．3＋4i解析：根据已知，得a＝2，b＝1，所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.答案：D2．(2014·高考湖南卷)满足＝i(i是虚数单位)的复数z＝()A.＋iB.－iC．－＋iD．－－i解析：式子＝i去分母，得z＋i＝zi，所以(1－i)z＝－i，解得z＝＝＝＝－i，选B.答案：B3．(2014·高考安徽卷)设i是虚数单位，表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则＋i·＝()A．－2B．－2iC．2D．2i解析：因为z＝1＋i，所以＋i·＝＋i(1－i)＝(－i＋1)＋(i＋1)＝2.答案：C4．(1＋i)20－(1－i)20的值是()A．－1024B．1024C．0D．1023解析：(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10＝0.答案：C5．(2015·高考湖南卷)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析：由题意得，z＝＝＝－1－i，故选D.答案：D6．已知a为实数，是纯虚数，则a＝________.解析：＝＝，因为是纯虚数，所以a－1＝0且a＋1≠0，即a＝1.答案：17．已知复数z1＝3－i，z2是复数－1＋2i的共轭复数，则复数－的虚部等于________．解析：－＝－＝－＝，其虚部为.答案：8．设z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________．解析：设＝bi(b∈R且b≠0)，所以z1＝bi·z2，即a＋2i＝bi(3－4i)＝4b＋3bi.所以所以a＝.答案：9．计算：1(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)；(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)；(3)－.解析：(1)(1＋i)(1－i)＋(－1＋i)＝1－i2＋(－1＋i)＝2－1＋i＝1＋i.(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝＝＝＋i.(3)－＝＝＝＝2i.10．已知复数z＝.(1)求复数z；(2)若z2＋az＋b＝1－i，求实数a，b的值．解析：(1)z＝＝＝＝1＋i.(2)把z＝1＋i代入z2＋az＋b＝1－i，得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，所以解得[B组能力提升]1．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，若(a＋bi)2＝2i，则有a＝b＝－1或a＝b＝1，因此选A.答案：A2．若z1，z2∈C，z12＋1z2是()A．纯虚数B．实数C．虚数D．不能确定解析：z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，z12＋1z2＝(a＋bi)(c－di)＋(a－bi)(c＋di)＝2ac＋2bd∈R.答案：B3．若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋2＝1，则sin2θ＝________.解析：z2＋2＝(cosθ＋isinθ)2＋(cosθ－isinθ)2＝2cos2θ＝1⇒sin2θ＝.答案：4．(2015·高考重庆卷)设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：复数a＋bi(a，b∈R)的模为＝，则a2＋b2＝3，所以(a＋bi)(a－bi)＝a2－(bi)2＝a2＋b2＝3.答案：35．已知z是复数，z＋2i，均为实数，且复数(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．2解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则z＋2i＝x＋yi＋2i＝x＋(2＋y)i.由于z＋2i是实数，则2＋y＝0，解得y＝－2，＝＝＝(2x＋2)＋(x－4)i，由于是实数，则(x－4)＝0，解得x＝4，∴z＝4－2i，∴(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由(z＋ai)2在复平面内对应的点在第一象限可得解得2＜a＜6，∴实数a的取值范围是(2,6)．6．已知复数z1＝2＋i,2z2＝.(1)求z2；(2)若△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，且u＝cosA＋2icos2，求|u＋z2|的取值范围．解析：(1)z2＝·＝·＝＝－＝－i.(2)在△ABC中，∵A，B，C依次成等差数列．∴2B＝A＋C＝π－B，∴3B＝π，∴B＝，A＋C＝，又由(1)得z2＝－i，∴u＋z2＝cosA＋2icos2－i＝cosA＋i(2cos2－1)＝cosA＋icosC，∴|u＋z2|2＝cos2A＋cos2C＝＋＝1＋(cos2A＋cos2C)＝1＋(cos2A＋cos2(－A))＝1＋(cos2A＋cos(－2A))＝1＋(cos2A＋cos(π＋－2A))＝1＋(cos2A－cos(－2A))＝1＋[cos2A－(coscos2A＋sinsin2A)]＝1＋(cos2A－sin2A)＝1＋sin(－2A)＝1－sin(2A－)．∵A＋C＝，∴0＜A＜，∴－＜2A－＜，∴≤1－sin(2A－)＜，∴≤|u＋z2|2＜，∴≤|u＋z2|＜，3即|u＋z2|的取值范围是[，)．4
