2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数高效测评新人教A版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝D．y＝sinx解析：对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.答案：C2．若在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)>0B．f(x)<0C．f(x)＝0D．不能确定解析：∵f′(x)>0，∴f(x)在(a，b)内单调递增．∴f(x)>f(a)≥0，即f(x)>0.答案：A3．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则()A．a≤0B．a<1C．a<2D．a≤解析：f′(x)＝3ax2－1，∵f(x)在R上为减函数，∴f′(x)≤0在R上恒成立，∴a≤0，经检验a＝0符合题意，故选A.答案：A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()解析：由f(x)的图象知f(x)在(－∞，0)上单调递增，∴f′(x)>0，排除A，C.当x＞0时，f(x)先增又减后又增，∴f′(x)的图象应先在x轴上方又下方后又上方，故D正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递增的，则甲是乙的________条件．解析：f(x)＝x3在(－1,1)内是单调递增的，但f′(x)＝3x2≥0(－10，则2x(x－2)>0，解得x<0或x>2.所以函数的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)．令y′<0，则2x(x－2)<0，解得00，解得－－.所以函数的单调递增区间为，.令y′<0，解得－11时，x>ln(1＋x)．证明：设f(x)＝x－ln(1＋x)，则f′(x)＝1－＝，∵x≥1时，f′(x)>0，∴f(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴当x>1时，f(x)＝x－ln(1＋x)>f(1)＝1－ln2>1－lne＝0，∴f(x)>0，即x>ln(1＋x)(x>1)．2
