(一)三角函数与解三角形1．(2019·余高、缙中、长中模拟)已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)若f(α)＝，α∈，求cos2α的值．解(1)f(x)＝sin2x＋－＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得函数f(x)的单调增区间是，k∈Z.(2)由f(α)＝得sin＝，因为α∈，所以2α＋∈，所以cos＝－，所以cos2α＝cos＝.2．(2019·杭州二中高考热身考)已知函数f(x)＝sin2x－sinxcosx.(1)求f(x)的最大值及此时x的值；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)的值．解(1)f(x)＝－cosx－sinx＝－sin，令x＋＝－＋2kπ，k∈Z，得x＝4k－，k∈Z，∴当x＝4k－(k∈Z)时，f(x)max＝.(2)由(1)知函数的周期T＝4，f(1)＝－，f(2)＝＋，f(3)＝＋，f(4)＝－，∴f(4k＋1)＝－，f(4k＋2)＝＋，f(4k＋3)＝＋，f(4k＋4)＝－，∴f(4k＋1)＋f(4k＋2)＋f(4k＋3)＋f(4k＋4)＝2，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＝504×2＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝1010.3．(2019·余高等三校联考)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且bsinA－acosB＝0.(1)求角B的大小；(2)若a＋c＝3，求AC边上中线长的最小值．解(1)由正弦定理得，sinBsinA－sinAcosB＝0，∵sinA≠0，∴tanB＝，∵B是三角形的内角，∴B＝60°.(2)方法一设AC边上的中点为E，在△BAE中，由余弦定理得，BE2＝c2＋2－2c··cosA，1又cosA＝，a2＋c2－b2＝2·cos60°ac，∴BE2＝c2＋－＝＝＝＝≥＝，当且仅当a＝c时取到“＝”，∴AC边上中线长的最小值为.方法二设AC边上的中点为E，BE＝(BA＋BC)，|BE|2＝|BA＋BC|2＝，以下同方法一．4．(2019·浙大附中考试)已知f(x)＝2cosx·sin＋sinx·cosx－sin2x.(1)求函数y＝f(x)(00，x∈R)，f(x)＝m·n－且f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)若△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且b＝，f(B)＝0，sinA＝3sinC，求a，c的值及△ABC的面积．解(1)f(x)＝m·n－＝sinωxcosωx－cos2ωx－＝sin2ωx－cos2ωx－1＝sin－1.∵f(x)的图象上相邻两条对称轴之间的距离为，∴T＝＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin－1，令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)由(1)知，f(B)＝sin－1＝0，∵0
