第3节平面向量的数量积及其应用[A级基础巩固]1．(2020·开封一模)已知向量a＝(m－1，1)，b＝(m，－2)，则“m＝2”是“a⊥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当m＝2时，a＝(1，1)，b＝(2，－2)，所以a·b＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0，所以充分性成立；当a⊥b时，a·b＝(m－1，1)·(m，－2)＝m(m－1)－2＝0，解得m＝2或m＝－1，必要性不成立，所以“m＝2”是“a⊥b”的充分不必要条件．答案：A2．设向量a，b满足|a＋b|＝4，a·b＝1，则|a－b|＝()A．2B．2C．3D．2解析：由|a＋b|＝4，a·b＝1，得a2＋b2＝16－2＝14，所以|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝14－2×1＝12，所以|a－b|＝2.答案：B3．(2020·唐山质检)若向量a＝，向量b＝(1，sin22.5°)，则a·b＝()A．2B．－2C.D．－解析：由题意知a·b＝tan67.5°＋＝－＝＝＝＝2.答案：A4．(2020·石家庄二模)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|b|，则向量a＋b与a的夹角为()A.B.C.D.解析：设|b|＝1，则|a＋b|＝|a－b|＝2.由|a＋b|＝|a－b|，得a·b＝0，故以a、b为邻边的平行四边形是矩形，且|a|＝，设向量a＋b与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝＝，因为0≤θ≤π，所以θ＝.答案：D5．(2020·惠州模拟)已知两个非零向量a与b，若a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，则a21－b2的值为()A．－3B．－24C．21D．12解析：因为a＋b＝(－3，6)，a－b＝(－3，2)，所以a＝(－3，4)，b＝(0，2)，a2＝|a|2＝25，b2＝|b|2＝4，则a2－b2＝21.答案：C6．(2020·佛山调研)在Rt△ABC中，AB＝AC，点M、N是线段AC的三等分点，点P在线段BC上运动且满足PC＝kBC，当PM·PN取得最小值时，实数k的值为()A.B.C.D.解析：建立平面直角坐标系，如图所示，设AB＝AC＝3，P(x，3－x)(0≤x≤3)，则M(1，0)，N(2，0)，则PM·PN＝2x2－9x＋11＝2＋，所以当x＝时，PM·PN取到最小值，此时P，所以k＝＝.答案：C7．在△ABC中，三个顶点的坐标分别为A(3，t)，B(t，－1)，C(－3，－1)，若△ABC是以B为直角顶点的直角三角形，则t＝________．解析：由已知，得BA·BC＝0，即(3－t，t＋1)·(－3－t，0)＝0，所以(3－t)(－3－t)＝0，解得t＝3或t＝－3，当t＝－3时，点B与点C重合，舍去．故t＝3.答案：38．(一题多解)(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．解析：法一|a＋2b|＝＝＝＝＝2.法二(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图所示，则|a＋2b|＝|OC|.2又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2.答案：29．(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若BD＝2DC，AE＝λAC－AB(λ∈R)，且AD·AE＝－4，则λ的值为________．解析：由BD＝2DC得AD＝AB＋AC，所以AD·AE＝·(λAC－AB)＝λAB·AC－AB2＋λAC2－AB·AC，又AB·AC＝3×2×cos60°＝3，AB2＝9，AC2＝4，所以AD·AE＝λ－3＋λ－2＝λ－5＝－4，解得λ＝.答案：10．(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π]．(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值．解：(1)因为a＝(cosx，sinx)，b＝(3，－)，a∥b，所以－cosx＝3sinx.若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，故cosx≠0.于是tanx＝－.又x∈[0，π]，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝(cosx，sinx)·(3，－)＝3cosx－sinx＝2cos.因为x∈[0，π]，所以x＋∈，从而－1≤cos≤，于是，当x＋＝，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x＋＝π，即x＝时，f(x)取得最小值－2.[B级能力提升]11．(2020·“超级全能生”全国联考)在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝，D是AC的中点，E在BC上，且AE⊥BD，则AE·BC等于()A．16B．12C．8D．－4解析：以B为原点，BA，BC所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(4，0)，B(0，0)，C(0，6)，D(2，3)．设E(0，t)，因为AE⊥BD，所以BD·AE＝(2，3)·(－4，t)＝－8＋3t＝0，所以t＝，即E.AE·BC＝·(0，6)＝16.答案：A12．(2020·长郡中学联考)已知非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝|a|，则向量a＋b与a－b的夹角为________．解析：由|a＋b|＝|a－b|，知a⊥...
