2.6距离的计算,[学生用书单独成册])[A.基础达标]1．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是()A．[0，5]B．[1，5]C．(1，5)D．[1，25]解析：选B.|AB|＝＝＝，因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤|AB|≤5.2．正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，则异面直线AC与A1D的距离为()A.B.C.D．1解析：选A.建立如图坐标系，连接B1C，AB1，因为A1D∥平面AB1C，所以异面直线AC与A1D的距离为A1到平面AB1C的距离．D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，AC＝(－2，2，0)，AB1＝(0，2，2)，AA1＝(0，0，2)．设n＝(x，y，z)为平面AB1C的法向量，由n·AC＝0，n·AB1＝0得：x＝y＝－z，可取n＝(1，1，－1)，故A1到平面ACB1的距离为＝.3．若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为()A.B．1C.D.解析：选D.以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x，y，z轴正向建立坐标系，C(0，1，0)，C1(0，1，)，A(1，0，0)，CC1＝(0，0，)，AC1＝(－1，1，)，易知C1C⊥平面ABCD，可取CC1为平面ABCD的法向量，故A1C1到平面ABCD的距离为＝.4．把边长为a(a>0)的正△ABC沿高线AD折成60°的二面角，则点A到BC的距离是()A．aB.aC.aD.a解析：选D.建立如图所示的空间直角坐标系，因为正△ABC′边长为a，所以|BD|＝|DC|＝，所以B(，0，0)，A(0，0，a)，C(，a，0)，所以BA＝(－，0，a)，BC＝(－，a，0)．与BC同向的单位向量为s0＝(－，，0)．所以d＝＝a.5．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1到平面BDC1的距离为()A.aB.aC.aD.a解析：选D.明显A1C⊥平面AB1D1，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(1，－1，1)，A(a，0，0)，B(a，a，0)，BA＝(0，－a，0)，则两平面间的距离为d＝|BA·|＝＝a.6．已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若AP＝2PB，则空间P，D两点间的距离为________．解析：设P(x，y，z)，由AP＝(x－1，y－2，z－1)＝2PB＝2(－1－x，3－y，4－z)＝(－2－2x，6－2y，8－2z)，得即故|PD|＝＝.答案：7．三棱锥SABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥AC，且AS＝AB＝AC＝2，D是SA的中点，则点D到BC的距离为________．解析：如图所示，建立空间直角坐标系，则D(0，0，1)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，1所以BD＝(－2，0，1)，BC＝(－2，2，0)，所以BD在BC上的投影长为＝＝，故D到BC的距离为＝.答案：8．已知ABCA1B1C1是各条棱长均等于a的正三棱柱，D是侧棱CC1的中点，则点C1到平面AB1D的距离为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(a，a，0)，B1(a，，a)，D(0，a，)，C1(0，a，a)，设平面AB1D的法向量为n＝(x，y，z)，则即所以取z＝－2，则y＝1，x＝，所以n＝(，1，－2)，C1D＝(0，0，－)，则点C1到平面AB1D的距离为＝a.答案：a9.在如图所示的空间直角坐标系中有长方体ABCDA′B′C′D′，且AB＝AD＝1，BB′＝2，M，N分别是A′D′，D′C′的中点，求直线AC与直线MN的距离．解：依据长方体的性质可知AC∥MN，故两直线间的距离为点M到直线AC的距离．由题意得AC＝(－1，1，0)，AM＝(0，，－2)．所以点M到直线AC的距离d＝＝＝.10．如图，在四棱锥SABCD中，AD∥BC且AD⊥CD，平面CSD⊥平面ABCD，CS⊥DS，CS＝2AD＝2，E为BS的中点，CE＝，AS＝.求点A到平面BCS的距离．解：如图，以S(O)为坐标原点，OD、OC所在直线分别为x轴、y轴，建立空间直角坐标系．设A(xA，yA，zA)，因平面COD⊥平面ABCD，AD⊥CD，故AD⊥平面COD，即点A在xOz平面上，因此yA＝0，zA＝|AD|＝1.又x＋12＝|AS|2＝3，xA＞0，解得xA＝.从而A(，0，1)．因AD∥BC，故BC⊥平面CSD，即平面BCS与平面yOz重合，从而点A到平面BCS的距离为xA＝.[B.能力提升]1．空间直角坐标系中(O为坐标原点)，在坐标平面xOy上到点A(3，2，5)，B(3，5，1)距离相等的点有()A．1个B．2个C．不存在D．无数个解析：选D.过AB的中点(3，，3)且以AB＝(0，3，－4)为法向量的平面上的点到A、B的距离相等．2．在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P，Q分别为线段BD1，CC1上的动点，则PQ的最小值为()A.B.C.D.解析：选D.PQ的最小值即为异...
