专题二犹抱琵琶半遮面例谈函数的奇偶性函数的奇偶性作为一种重要的函数性质，体现了函数的对称性。具体表现在（1）函数图像的对称性（奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称）（2）函数的数值上；（3）函数数关系式上。理解和把握函数的奇偶性，对解决函数问题常常可起到事半功倍的作用，而很多问题都给人以犹抱琵琶半遮面的感觉，需要深刻理解函数奇偶性，才能做到“千呼万唤使出来”。【金题典例2】（必修1第39页习题1.3题A组第6题）已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，。画出函数的图象，并求出函数的解析式。【答案】见解析【解题反思】本题先利用奇函数的图象关于原点对称画出函数的图象，在利用奇函数的定义求出函数的解析式．利用奇偶性求函数解析式，此类问题的一般做法是：①“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x就设在哪个区间内．②利用的奇偶性f(x)=－f(－x)或f(x)=f(－x)．③要利用已知区间的解析式进行代入，从而解出f(x)．变式1.已知函数是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，（1）求函数的解析式（2）画出函数的图象，根据图象写出函数的单调区间．【答案】见解析【解析】（1）是定义在R上的奇函数∴f（0）=0，设x＜0，又是奇函数，∴，∴（2）函数的图象为函数的单调减区间为：（﹣∞，0），（0，+∞），无单调增区间．变式2.已知函数是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=x2+4x．（1）求函数的解析式；（2）画出函数的大致图象，并求出函数的值域；（3）若k∈R，试讨论方程f（x）=k实数解的个数．【答案】见解析【解析】（1）设x＞0，可得﹣x＜0， 当x≤0时，f（x）=x2+4x，∴f（﹣x）=（﹣x）2+4（﹣x）=x2﹣4x， 函数f（x）是定义在R上的偶函数，可得f（﹣x）=f（x），∴f（x）=f（﹣x）=x2﹣4x，∴（2）图象如图如上图可知：f（x）的值域为：值域为f（x）∈[﹣4，+∞）变式3.已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断.【答案】见解析【解析】在上是减函数证明设x1＜x2＜0则-x1＞-x2＞0 在（0，+∞）上是增函数∴f（-x1）＞f（-x2）又是偶函数∴f（-x1）=f（x1），f（-x2）=x2）∴f（x1）＞f（x2）∴在（-∞，0）上是减函数。1.已知函数为奇函数，且当时，，则（）A.-2B.0C.1D.22.已知函数是上的偶函数，且在上单调递增，则下列各式成立的是（）A.B.C.D.3.函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是()A．B．C．D．4.已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）A.-2B.C.3D.5.若是定义在上的函数，且满足：①是偶函数；②是偶函数；③当时，，当时，，则方程在区间内的所有实数根之和为（）A.0B.10C.12D.246.若函数f(x)＝xln(x＋)为偶函数，则a＝________.7.函数f(x)＝lg为奇函数，则实数a＝________.8.设函数是上的偶函数,当时,,函数满足,则实数的取值范围是9.已知函数为奇函数，，若，则数列的前项和为10.设是定义在上的偶函数，；，若的图象与的图象的交点分别为，，…，，则__________．11．已知函数是定义在上的偶函数，已知当时，.（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并写出函数的单调递增区间；（3）求在区间上的值域.12．已知定义在上的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围。参考答案1.【答案】A【解析】 函数为奇函数,且当时,，，故选A.3.【答案】D【解析】由已知，使成立的满足，所以由得，即使成立的满足，选D.4.【答案】D【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以，故选D．5.【答案】D【解析】因为是偶函数，所以.即函数关于轴对称；又是偶函数，所以.所以有，即函数是周期为4的周期函数.可做出函数的简图，如图所示，在区间内共有4个交点，.可得.和为8+16=24，故选D.6.【答案】17.【答案】－1【解析】根据题意得，使得函数有意义的条件为a＋>0且1＋x≠0.由奇函数的性质可得f(0)＝0.所以lg(a＋2)＝0即a＝－1，a＝－1满足函数的定义域．8.【答案】【解析】因为时,单减,而是上的偶函数,所以时,单增;即时,单增;而时,单增;所以函数是上的增函数;而,所以,解得;所以实数的取值范围是.9.【答案】2016【解析】 函数为奇...
