课时分层作业(四)向量的数乘运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB＝2e1，BC＝3e2，则e2－e1＝()A．BOB．AOC．COD．DOA[BD＝AD－AB＝BC－AB＝3e2－2e1，BO＝BD＝e2－e1.]2．(多选题)已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为()A．m(a－b)＝ma－mbB．(m－n)a＝ma－naC．若ma＝mb，则a＝bD．若ma＝na，则m＝nAB[A正确．B正确．C错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.D错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.]3．在四边形ABCD中，若AB＝3a，CD＝－5a，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．非等腰梯形C[由条件可知AB＝－CD，∴AB∥CD，又因为|AD|＝|BC|，所以四边形ABCD为等腰梯形．]4．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋ACA[如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A．]5．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有()A．k＝mB．km－1＝0C．km＋1＝0D．k＋m＝0B[若A，B，C三点共线，则AB与AC共线，所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝λ(ma＋b)，即a＋kb＝λma＋λb，所以所以km＝1，即km－1＝0.]二、填空题6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________.4b－3a[由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.]7．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若OA－3OB＋2OC＝0，则＝________.2[ OA－3OB＋2OC＝0，∴OB－OA＝2(OC－OB)，∴AB＝2BC，∴＝2.]8．已知在△ABC中，点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝________.3[ MA＋MB＋MC＝0，∴MB＋MC＝－MA，又由AB＋AC＝mAM得(MB＋MC)－2MA＝mAM，即－3MA＝mAM＝－mMA，所以m＝3.]三、解答题9．如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC＝BA，在OB上取点D，使DB＝OB，DC与OA交点为E，设OA＝a，OB＝b，用a，b表示向量OC，DC.[解] AC＝BA，∴A是BC的中点，∴OA＝(OB＋OC)，∴OC＝2OA－OB＝2a－b.∴DC＝OC－OD＝OC－OB＝2a－b－b＝2a－b.10．设两个非零向量e1，e2不共线，已知AB＝2e1＋ke2，CB＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．[解]设存在k∈R，使得A，B，D三点共线， DB＝CB－CD＝(e1＋3e2)－(2e1－e2)＝－e1＋4e2，AB＝2e1＋ke2，又 A，B，D三点共线，∴AB＝λDB，∴2e1＋ke2＝λ(－e1＋4e2)，∴∴k＝－8，∴存在k＝－8，使得A，B，D三点共线．11．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的条件是()A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且|a|＝|b|C[，分别表示a，b的单位向量．对于A，当a＝－b时，≠；对于B，当a∥b时，可能有a＝－b，此时≠；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b且|a|＝|b|时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的条件是a＝2b，选C．]12．(多选题)已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()A．2a－3b＝4e且a＋2b＝－2eB．存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0C．xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)D．已知梯形ABCD，其中AB＝a，CD＝bAB[对于A，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于B，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于C，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于D，梯形中没有条件AB∥CD，可能AD∥BC，故a与b不一定共线．]13．(一题两空)如图，ABCD是一个梯形，AB∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分别是DC，AB的中点，已知AB＝e1，AD＝e2，试用e1，e2表示下列向量．(1)AC＝________；(2)MN＝________.(1)e2＋e1(2)e1－e2[因为AB∥CD，|AB|＝2|CD|，所以AB＝2DC，DC＝AB.(1)AC＝AD＋DC＝e2＋e1.(2)MN＝MD＋DA＋AN＝－DC－AD＋AB＝－e1－e2＋e1＝e1－e2.]14．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若AE＝λAB＋μAC，则t＝λ－μ的最大值是________．3[AE，AD共线，设AE＝kAD(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则AD＝2AB－AC，AE＝2kAB－kAC，又AE＝λA...
