第6讲空间坐标系与空间向量1．下列等式中，使点M与点A，B，C一定共面的是()A.OM＝3OA－2OB－OCB.OM＝OA＋OB＋OCC.OM＋OA＋OB＋OC＝0D.MA＋MB＋MC＝02．(人教A版选修21P97习题A组T2改编)如图X861，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量与BM相等的向量是()图X861A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，则EF·DC＝()A.B．－C.D．－4．(2015年浙江)如图X862，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．图X8625．已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，AM＝MC1，点N为B1B的中点，则|MN|＝()A.aB.aC.aD.a6．(2016年山西太原模拟)如图X863，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E为PB的中点，cos〈DP，AE〉＝，若以DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则点E的坐标为()图X863A．(1,1,1)B.C.D．(1,1,2)7．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．8．(2016年浙江)如图X864，已知平面四边形ABCD，AB＝BC＝3，CD＝1，AD＝，∠ADC＝90°.沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′，直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是________．图X86419．如图X865，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)EF·BA；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．图X86510．(2014年新课标Ⅰ)如图X866，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角AA1B1C1的余弦值．图X8662第6讲空间坐标系与空间向量1．D解析：∵M，A，B，C四点共面⇔OM＝xOA＋yOB＋zOC(x，y，z∈R)，且x＋y＋z＝1.∵MA＋MB＋MC＝0⇔MA＝－MB－MC.∴存在x＝－1，y＝－1，使MA＝xMB＋yMC.∴MA，MB，MC共面．∵M为公共点．∴M，A，B，C四点共面．2．A解析：由题意，根据向量运算的几何运算法则，BM＝BB1＋B1M＝AA1＋(AD－AB)＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.3．B解析：∵E，F分别是AB，AD的中点．∴EF∥BD且EF＝BD，∴EF＝BD.∴EF·DC＝BD·DC＝|BD|·|DC|cos〈BD，DC〉＝×1×1×cos120°＝－.4.解析：如图D153，连接DN，取DN中点P，连接PM，PC，则可知∠PMC为异面直线AN，CM所成的角，易得PM＝AN＝，PC＝＝＝，CM＝＝2，∴cos∠PMC＝＝，即异面直线AN，CM所成的角的余弦值是.图D1535．A解析：MN＝AN－AM＝AN－AC1＝AB＋BN－＝AB＋AA1－AD.∴|MN|＝＝a.6．A解析：由已知得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，设P(0,0，a)(a>0)，则E.所以DP＝(0,0，a)，AE＝，|DP|＝a，|AE|＝＝＝.又cos〈DP，AE〉＝，所以＝.解得a2＝4，即a＝2.所以E(1,1,1)．7.解析：|EF|2＝EF2＝(EC＋CD＋DF)2＝EC2＋CD2＋DF2＋2(EC·CD＋EC·DF＋CD·DF)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2.∴|EF|＝.∴EF的长为.8.解析：设直线AC与BD′所成角为θ.设O是AC中点，由已知，得AC＝.如图D154，以OB为x轴，OA为y轴，过点O与平面ABC垂直的直线为z轴，建立空间直角坐标系，则A，B，C.作DH⊥AC于H，翻折过程中，D′H始终与AC垂直，CH＝＝＝，则OH＝，DH＝＝.因此可设D′，则BD′＝，与CA平行的单位向量n＝(0,1,0)，所以cosθ＝|cos〈BD′，n〉|＝＝.所以cosα＝1时，cosθ取最大值.图D1549．解：设AB＝a，AC＝b，AD＝c.则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°.(1)EF＝BD＝c－a，BA＝－a，DC＝b－c，EF·BA＝·(－a)＝a2－a·c＝.(2)EG＝EB＋BC＋CG＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，|EG|2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则|EG|＝.(3)AG＝b＋c，CE＝CA＋AE＝－b＋a，cos〈AG，CE〉＝＝－，3因为异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.10．(1)证明：如图D155，连接BC1，交B1C于点O，连接AO.图D155因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO.故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)解：因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC(SSS)．故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又OB＝1，则OB1＝，OA＝.故A，B(1,0,0)，B1，C.AB1＝，A1B1＝AB＝，B1C1＝BC＝.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则即所以可取n＝(1，，)．设m是平面A1B1C1的法向量，则同理可取m＝(1，－，)．则cos〈n，m〉＝＝.所以结合图形知，二面角AA1B1C1的余弦值为.4
