考点规范练41直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固1.(2017贵州模拟)已知直线l经过点P(-2,5),且斜率为-,则直线l的方程为()A.3x+4y-14=0B.3x-4y+14=0C.4x+3y-14=0D.4x-3y+14=02.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为()A.4B.C.-4D.-143.直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围是()A.B.∪(1,+∞)C.(-∞,1)∪D.(-∞,-1)∪4.一次函数y=-x+的图象同时经过第一、二、四象限的必要不充分条件是()A.m>1,且n>1B.mn>0C.m>0,且n<0D.m>0,且n>05.设A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是()A.x+y-5=0B.2x-y-1=0C.2x-y-4=0D.2x+y-7=06.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为.7.一条直线经过点A(2,-),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是.8.设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条件分别求m的值.(1)直线l经过定点P(2,-1);(2)直线l在y轴上的截距为6;(3)直线l与y轴平行;(4)直线l与y轴垂直.19.已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的方程.能力提升10.若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是()A.2B.2C.4D.211.若直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()2A.1B.2C.4D.812.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,求直线l的方程.高考预测13.在平面直角坐标系xOy中,设A是半圆O:x2+y2=2(x≥0)上一点,直线OA的倾斜角为45°,过点A作x轴的垂线,垂足为H,过点H作OA的平行线交半圆于点B,则直线AB的方程是.参考答案考点规范练41直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.A解析由点斜式方程知直线l的方程为y-5=-(x+2),即3x+4y-14=0.2.A解析∵{an}为等差数列,S5=55,∴a1+a5=22,∴2a3=22,∴a3=11.又a4=15,∴kPQ==4.3.3D解析设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=,满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪.4.B解析因为y=-x+经过第一、二、四象限,所以-<0,>0,即m>0,n>0,但此为充要条件,因此,其必要不充分条件为mn>0,故选B.5.A解析易知A(-1,0).∵|PA|=|PB|,∴P在AB的中垂线即x=2上.∴B(5,0).∵PA,PB关于直线x=2对称,∴kPB=-1.∴lPB:y-0=-(x-5),即x+y-5=0.6.16解析根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为=1,又C(-2,-2)在该直线上,故=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据均值不等式ab=-2(a+b)≥4,从而≤0(舍去)或≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时取等号.即ab的最小值为16.7.x-y-3=0解析因为直线y=x的倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,即斜率k=tan60°=.又该直线过点A(2,-),故所求直线为y-(-)=(x-2),即x-y-3=0.8.解(1)由于点P在直线l上,即点P的坐标(2,-1)适合方程(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,把点P的坐标(2,-1)代入方程,得2(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6,解得m=.4(2)令x=0,得y=,根据题意可知=6,解得m=-或m=0.(3)直线与y轴平行,则有解得m=.(4)直线与y轴垂直,则有解得m=3.9.解∵点B在直线l2:2x+y-8=0上,∴可设点B的坐标为(a,8-2a).∵点P(0,1)是线段AB的中点,∴点A的坐标为(-a,2a-6).又点A在直线l1:x-3y+10=0上,∴将A(-a,2a-6)代入直线l1的方程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.∴点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的方程为=1,即x+4y-4=0.10.C解析(方法一)因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.欲求m2+n2的最小值可先求的最小值.而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点和点(m,n)的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小,最小值为2.故m2+n2的最小值为4.5(方法二)由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,直线与两坐标轴交于A,B,在Rt△OAB中,OA=,OB=,斜边AB=,斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根,∴S△OAB=·OA·OB=AB·h,∴h==2,∴m2+n2的最小值为h2=4.11.C解析∵直线ax+by=ab(a>0,b>0)过点(1,1),∴a+b=ab,即=1,∴直线在x轴、y轴上的截距之和a+b=(a+b)=2+≥2+2=4,当且仅当a=b=2时等号成立.∴该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为4.12.解设直线l的斜率为k,则k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A,B(0,1-k),6所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4,当且仅当k2=,即k=-1时,|MA|2+|MB|2取得最小值4,此时直线l的方程为x+y-2=0.13.x+y--1=0解析由题意可得直线OA的方程为y=x,与半圆方程联立得A(1,1),即可得H(1,0),则直线HB的方程为y=x-1,与半圆方程联立得B.故直线AB的方程为,即x+y--1=0.7
