高三数学数列的概念、等差数列、等比数列、等差数列和等比数列的综合运用一.本周教学内容:数列的概念、等差数列、等比数列、等差数列和等比数列的综合运用[知识点]1.数列的概念:数列是按一定顺序排列的一列数,在函数意义下,数列是定义域为自然数集N+(或它的有限子集(1,2,……,n))的函数f(n)当自变量n从1开始依次取自然数时所对应的一列函数值f(1),f(2),……f(n),……,通常用an代替f(n),于是数列的一般形式为a1,a2,……,an,……。简记为an,其中an是数列{an}中的第n项。2.数列的通项公式:一个数列{an}的第n项an与项数n之间的函数关系,如果可以用一个公式an=f(n)来表示,我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式。求数列通项公式的基本题型:①根据数列的前若干项写出数列的一个通项公式:解决这一题型的关键是通过观察、分析、比较、去发现项与项之间的关系,如果关系不明显时,应该将项作适当变形或分解,让规律突现出来,便于找到通项公式;同时还要借助一些基本数列的通项及其特点如:自然数列、自然数的平方数列、偶数列、奇数列、摆动数列等。②已知Sn求an;已知数列的前n项和公式,求数列的通项公式,其方法是aSSnnaSSannnnnnn1122()这里常常因为忽略了条件而出错,即由求得时的n是从2开始的自然数,否则会出现当n=1时,Sn-1=S0而与前n项和的定义矛盾,可见由此求得的an不一定就是它的通项公式,必须验证n=1时是否也成立,否则通项公式只能用分段函数来表示。,aSnSSnnnn1112()()③已知数列的递推关系式求数列的通项公式。此一题型求数列通项的方法大致分两类,一类是根据前几项的特点归纳猜想出an的表达式,然后用数学归纳法证明:另一类是将已知递推关系式,用代数的一些变形技巧整理变形,然后采用累差法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或等比)方法求算通项。3.数列的分类:(1)按照项数有限还是无限来分:有穷数列和无穷数列。(2)按照项与项之间的大小关系来分;递增数列、递减数列、摆动数列和常数列,递增数列与递减数列统称为单调数列。(3)按照任何一项的绝对值是否都小于某一个正数来分:有界数列和无界数列。即:aMann有界(4)递推关系一个数列的项与项之间的一种关系,叫做递推关系。它包括初始值与相邻两项或几项之间的关系式两部分。4.等差数列的定义:一个数列{an},如果从第二项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数,即满足:aadnn1(常数),则称这个数列为等差数列。用心爱心专心115号编辑5.等差数列的通项公式:()(关于的一次函数或时常值函数)11110aanddnadndn()()(公差公式)2aanmddaanmnmnm()aann116.等差数列前n项和公式();112Snaann()()21211222Snannddnadnn()()SaaandSnannn1210……(不含常数项的关于的二次式或时)7.等差中项:如果三数成等差数列,那么叫做和的等差中项,即、、。abcbacbac12(){}aaaannnn是等差2128.等差数列的性质:设等差数列为{an},其前n项和为Sn,则()()amnpqmnpqNaaaamnpq若则、、、,()()bSSSSSSSnnnnnknkn,,,……,,……成等差数列;2321()(){}()()cSnaaSnaannnnn212112121212,事实上,对于等差数列,()21nan9.数列{an}为等差数列的判断和证明(充要条件)()(常数)为等差数列11aadannn{}()为等差数列2aknbann{}()(、不同时为的常数)为等差数列302SAnBnannAB{}()为等差数列、、42ABCBAC10.等比数列的定义一个数列{an},如果从第二项起,每一项与它前一项的比都是同一个常数,即满足:aaqaqnnn100(常数),则称这个数列为等比数列,由等比数列的定义可知:,。11.等比数列的通项公式()();。1211aaqaaqnnnmnm12.等比数列前n项和公式用心爱心专心115号编辑()当时,;111qSnan()当时,则2111111qSaqqaaqqnnn()()……312Saaann注意:在利用等比数列求和公式求和时,若事先不知...