高考数学二轮复习 限时检测提速练17 最值与范围问题-人教版高三全册数学试题VIP免费

限时检测提速练(十七)最值与范围问题A组1．如图，在矩形ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．解：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，＝，＝，＝－，从而有＝，整理得＋y2＝1，即为椭圆E的方程．(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝，从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝，令t＝2＋x0，则2＜t＜4，S＝，令u＝4t3－t4，则u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，当t∈(2,3)时，u′＞0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3,4)时，u′＜0，u＝4t3－t4单调递减，所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为．2．(2018·资阳三诊)已知A1，A2为椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点，|A1A2|＝2，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)设动点P(2，t)(t≠0)，记直线PA1，PA2与E的交点(不同于A1，A2)到x轴的距离分别为d1，d2，求d1d2的最大值．解：(1)由|A1A2|＝2得2a＝2，则a＝．又由e＝得，c＝1，所以b2＝a2－c2＝1．故椭圆E的方程为＋y2＝1．(2)不妨设t＞0.直线PA1的方程为x＝y－，直线PA2的方程为x＝y＋，设直线PA1，PA2与E的交点分别为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得y2－y＝0，可得y1＝．又由得y2＋y＝0，可得y2＝．则d1d2＝×＝＝．因为t2＋≥6，当且仅当t2＝3取等号，所以≤，即(d1d2)max＝.当且仅当t＝±取等号．3．(2018·石嘴山一模)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)过点，两个焦点的坐标分别为(－1,0)，(1,0)．(1)求E的方程；(2)若A，B，P(点P不与椭圆顶点重合)为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且OP＝OA＋OB，求AB所在直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值．解：(1)由已知得c＝1,2a＝＋＝2，∴a＝，b＝1，则E的方程为＋y2＝1．(2)设AB：x＝my＋t(m≠0)代入＋y2＝1得(m2＋2)y2＋2mty＋t2－2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－，y1y2＝，Δ＝8(m2＋2－t2)，设P(x，y)，由OP＝OA＋OB，得y＝y1＋y2＝－，x＝x1＋x2＝my1＋t＋my2＋t＝m(y1＋y2)＋2t＝， 点P在椭圆E上，∴＋＝1，即＝1，∴4t2＝m2＋2，在x＝my＋t中，令y＝0，则x＝t，令x＝0，则y＝－．∴三角形面积S＝|xy|＝×＝×＝≥×2＝，当且仅当m2＝2，t2＝1时取得等号，此时Δ＝24＞0，∴所求三角形面积的最小值为．4．(2018·河南联考)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，过F的直线l交抛物线C于点A，B，当直线l的倾斜角是45°时，AB的中垂线交y轴于点Q(0,5)．(1)求p的值；(2)以AB为直径的圆交x轴于点M，N，记劣弧MN的长度为S，当直线l绕F点旋转时，求的最大值．解：(1)F，当l的倾斜角为45°时，l的方程为y＝x＋，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得x2－2px－p2＝0，x1＋x2＝2p，y1＋y2＝x1＋x2＋p＝3p，得AB中点为D，AB中垂线为y－p＝－(x－p)，将x＝0代入得y＝p＝5，∴p＝2．(2)设l的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y得x2－4kx－4＝0，|AB|＝y1＋y2＋2＝k(x1＋x2)＋4＝4k2＋4，AB中点为D(2k,2k2＋1)，令∠MDN＝2α，则S＝2α·|AB|＝α·|AB|，∴＝α，D到x轴的距离|DE|＝2k2＋1，cosα＝＝＝1－，当k2＝0时cosα取最小值，α的最大值为，故的最大值为．B组1．(2018·“皖南八校”联考)设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，椭圆C上一点M到左右两个焦点F1，F2的距离之和是4．(1)求椭圆的方程；(2)已知过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，且两点与左右顶点不重合，若F1M＝F1A＋F1B，求四边形AMBF1面积的最大值．解：(1)依题意，2a＝4，a＝2，因为e＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C方程为＋＝1．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB：x＝my＋1，则由可得3(my＋1)2＋4y2＝12，即(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝36m2＋36(3m2＋4)＝144(m2＋1)＞0，又因为F1M＝F1A＋F1B，所以四边形AMBF1是平行四边形，设平行四边形AMBF1的面积为S，则S＝2S△ABF1＝2××|F1F2|×|y1－y2|＝2×＝24×．设t＝，则m2＝t2－1(t≥1)，所以S＝24×＝24×，因为t≥1，所以3t＋≥4，所以S∈(0,6]，所以四边形AMBF1面积的最大值...