第四讲数学归纳法证明不等式(本卷满分150分，考试时间120分钟)一、选择题(每小题5分，共60分)1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取A.2B.3C.5D.6答案C2.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)时，第一步应验证不等式A.1＋<2－B.1＋＋<2－C.1＋<2－D.1＋＋<2－答案A3.用数学归纳法证明2n>n2(n∈N＋，n≥5)成立时，第二步归纳假设的正确写法是A.假设n＝k时命题成立B.假设n＝k(k∈N＋)时命题成立C.假设n＝k(k≥5)时命题成立D.假设n＝k(k>5)时命题成立答案C4.用数学归纳法证明“对于任意x>0和正整数n，都有xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n0应为A.n0＝1B.n0＝2C.n0＝1，2D.以上答案均不正确答案A5.利用数学归纳法证明＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了一项，并减少了D.增加了两项和，并减少了答案D6.用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋>成立时，起始值n0至少应取A.7B.8C.9D.101解析1＋＋＋＋＋…＋＝，n－1＝6，n＝7，故n0＝8.答案B7.用数学归纳法证明＋cosα＋cos3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z，α≠kπ，n∈N＋)，在验证n＝1时，左边计算所得的项是A.B.＋cosαC.＋cosα＋cos3αD.＋cosα＋cos2α＋3cosα答案B8.设0＜θ＜，已知a1＝2cosθ，an＋1＝，则猜想an＝A.2cosB.2cosC.2cosD.2sin答案B9.对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立.(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝(k＋1)＋1，∴n＝k＋1时，不等式成立.上述不等式成立A.过程全部正确B.n＝1时验证不正确C.归纳假设不正确D.从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案D10.用数学归纳法证明n(n＋1)(2n＋1)能被6整除时，由归纳假设推证n＝k＋1时命题成立，需将n＝k＋1时的原式表示成A.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)B.6k(k＋1)(2k＋1)C.k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2D.以上都不对答案C11.用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3…(2n－1)(n∈N＋)”时，从n＝k到n＝k＋1时左边应增添的式子是A.2k＋1B.2C.D.答案B12.下列代数式，n∈N＋，可能被13整除的是A.n3＋5nB.34n＋1＋52n＋1C.62n－1＋1D.42n＋1＋3n＋2答案D二、填空题(每小题5分，共20分)13.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝n2an(n∈N*).依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想Sn的表达式为________.解析S1＝1，S2＝，S3＝＝，S4＝，猜想Sn＝.答案Sn＝14.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)·(2n＋1)时，从“n＝k到n＝k＋1”，左边需增添的代数式是________.解析当n＝k时，左边共有2k＋1个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)，则当n＝k＋1时，左边共有2k＋3个连续自然数相加，即1＋2＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)，所以左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3).答案(2k＋2)＋(2k＋3)15.若2n>2n＋1(n∈N*，且n≥n0)恒成立，则n0的最小值为________.答案316.夏天吃西瓜，把西瓜横切一刀，竖切一刀，吃完后就剩下4块皮，以此类推，如果西瓜被横切n刀，竖切n刀(横切n刀切面互相平行，竖切n刀切面互相平行)，剩下的西瓜皮数记为f(n)，则f(3)＝________，f(n)＝________(答案用n表示).解析归纳猜想，寻找递推关系，显然f(1)＝4，f(2)＝9＋1，f(3)＝20，f(4)＝25＋9，…，f(n)＝(n＋1)2＋(n－1)2＝2(n2＋1).答案202(n2＋1)三、解答题(共70分)17.(10分)对于n∈N*，用数学归纳法证明：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)(n＋2).证明设f(n)＝1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－1)·2＋n·1.(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立；(2)设当n＝k(k≥1)时，等式成立，即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)，3则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝1·(k＋1)＋2[(k＋1)－1]＋3[(k＋1)－2]＋…＋[(k＋1)－2]·3＋[(k＋1)－1]·2＋(k＋1)·1＝f(k)＋1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋1＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3).所以由(1)(2)可知当n∈N*时，...
