平面向量的数量积011．a＝(2,3)，b＝(－1，－1)，则a·b＝()A．1B．－1C．－5D．52．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝()A．－12B．－6C．6D．123．已知向量|a|＝10，且|b|＝12，且a·b＝－60，则向量a与b的夹角为()A．60°B．120°C．135°D．150°4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.B.C.D.5．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则a·b＝()A.B．1C.D.6．半圆的直径AB＝4，O为圆心，C是半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC的中点，则(PA＋PB)·PC的值是()A．－2B．－1C．2D．无法确定，与C点位置有关7．设向量a＝(－1,2)、b＝(1,3)，下列结论中，正确的是()A．a∥bB．a⊥bC．a∥(a－b)D．a⊥(a－b)8．已知两不共线向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则下列说法不正确的是()A．(a＋b)⊥(a－b)B．a与b的夹角等于α－βC．|a＋b|＋|a－b|>2D．a与b在a＋b方向上的投影相等9．已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角是60°，则|a－3b|等于________．10．已知a、b、c都是单位向量，且a＋b＝c，则a·c的值为________．11．△ABO三顶点坐标为A(1,0)，B(0,2)，O(0,0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足AP·OA≤0，BP·OB≥0，则OP·AB的最小值为________．12．(13分)已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，求使a＋λb与λa＋b的夹角为钝角时，λ的取值范围．13．(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)．(1)设c＝4a＋b，求(b·c)·a；(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；(3)求向量a在b方向上的投影．答案解析【基础热身】1．C[解析]a·b＝2×(－1)＋3×(－1)＝－5.2．D[解析]a·(2a－b)＝2a2－a·b＝0，即10－(k－2)＝0，所以k＝12，故选D.3．B[解析]由a·b＝|a||b|cosθ＝－60⇒cosθ＝－，故θ＝120°.4．A[解析]∵cosθ＝＝＝，∴a在b方向上的投影|a|cosθ＝×＝.【能力提升】5．B[解析]|a|＝2，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2×1×＝1.6．A[解析](PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2.7．D[解析]a－b＝(－1,2)－(1,3)＝(－2，－1)，而a·(a－b)＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0.8．B[解析]a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，则|a|＝|b|＝1，设a，b的夹角是θ，则cosθ＝＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝cos(α－β)，∴θ与α－β不一定相等．9.[解析]∵|a－3b|2＝a2－6a·b＋9b2＝10－6×cos60°＝7，∴|a－3b|＝.10.[解析]b＝c－a，两边平方，并结合单位向量，得a·c＝.11．3[解析]∵AP·OA＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵BP·OB＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴OP·AB＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.12．[解答]由条件知，cos45°＝，∴a·b＝3，设a＋λb与λa＋b的夹角为θ，则θ为钝角，∴cosθ＝<0，∴(a＋λb)(λa＋b)<0.λa2＋λb2＋(1＋λ2)a·b<0，∴2λ＋9λ＋3(1＋λ2)<0，∴3λ2＋11λ＋3<0，∴<λ<.若θ＝180°时，a＋λb与λa＋b共线且方向相反，∴存在k<0，使a＋λb＝k(λa＋b)，∵a，b不共线，∴∴k＝λ＝－1，∴<λ<且λ≠－1.【难点突破】13．[解答](1)∵a＝(1,2)，b＝(2，－2)，∴c＝4a＋b＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)．∴b·c＝2×6－2×6＝0，∴(b·c)·a＝0a＝0.(2)a＋λb＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)，由于a＋λb与a垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.(3)设向量a与b的夹角为θ，向量a在b方向上的投影为|a|cosθ.∴|a|cosθ＝＝＝－＝－.
