高中数学求最值在圆锥曲线中的体现学法指导VIP免费

高中数学求最值在圆锥曲线中的体现张静最值问题的探讨已经渗透到各章节中，在圆锥曲线中的体现也较为明显。常遇到面积最大最小问题，距离的最长最短问题，不定量的最大最小问题等等。实质上与其他内容的最值一样，应会从函数、方程、三角、几何、导数等多个角度思考问题。下面举例说明。一、利用圆锥曲线的对称性求最值例1.设AB是过椭圆xaybab222210()中心的弦，椭圆的左焦点为Fc10()，，则△F1AB的面积最大为（）A.bcB.abC.acD.b2解析：如图1，由椭圆对称性知道O为AB的中点，则△F1OB的面积为△F1AB面积的一半。又||OFc1，△F1OB边OF1上的高为yB，而yB的最大值是b，所以△F1OB的面积最大值为12cb。所以△F1AB的面积最大值为cb。图1点评：抓住△F1AB中||OFc1为定值，以及椭圆是中心对称图形。二、利用圆锥曲线的参数方程求最值例2.已知点P是椭圆xy2288上到直线lxy：40的距离最小的点，则点P的坐标是（）A.()8313，B.()1383，C.()01，±D.()±，220解析：将xy2288化成参数方程，设P(cossin)22，，则d|cossin|2242342sin()，其中，sincos22313，当sin()1时，dmin22。此时可以取得2，从而可得到P()8313，。故选A。点评：化椭圆xyxy222288221为()，利用三角函数的方法将最值转化为角变量来确定。三、利用重要不等式求最值例3.已知圆C：()()()xaybab2280过坐标原点，则圆心C到直线l：xbya1距离的最小值等于（）A.2B.2C.22D.ab解析：圆C过原点，则ab228。圆心C（a，b）到直线l：axbyab0的距离dababab||2222||ababab2222222482所以圆心到直线l距离的最小值为2。点评：抓住定值ab228，利用重要不等式abab222求最值，但是不要忽视等号成立的条件。四、利用圆锥曲线的定义求最值例4.已知双曲线xaybab2222100()，的左右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且||||PFPF124，则此双曲线的离心率的最大值是（）A.43B.53C.2D.72解析：由双曲线的第一定义，得||||PFPFa122又||||PFPF124，所以322||PFa，从而||PFa223由双曲线的第二定义可得||PFxacca22，所以xac532。又xaaca，即532，从而eca53。故选B。点评：“点P在双曲线的右支上”是衔接两个定义的关键，也是不等关系532aca成立的条件。利用这个结论得出关于a、c的不等式，从而得出e的取值范围。五、利用几何性质求最值例5.已知A（3，2）、B（－4，0），P是椭圆xy222591上一点，则|PA|＋|PB|的最大值为（）A.10B.105C.105D.1025解析：易知A（3，2）在椭圆内，B（－4，0）是椭圆的左焦点（如图2），则右焦点为F（4，0）。连PB，PF。由椭圆的定义知：图2||||PBPF10，所以||||||||||||(||||)PBPFPAPBPAPFPAPF101010，所以。由平面几何知识，||||||||PAPFAF，即(||||)||minPAPBAF10而||()()AF3420522，所以(||||)minPAPB105。点评：由△PAF成立的条件||||||||PAPFAF，再延伸到特殊情形P、A、F共线，从而得出||||||||PAPFAF这一关键结论。