第二章推理与证明2.1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理第2课时类比推理课后篇巩固提升1.给出下列三个类比结论:①类比ax·ay=ax+y,则有ax÷ay=ax-y;②类比loga(xy)=logax+logay,则有sin(α+β)=sinα+sinβ;③类比(a+b)2=a2+2ab+b2,则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析根据指数幂的运算性质知①正确;根据正弦函数的运算性质知②错误;根据向量的运算性质知③正确,因此正确结论有2个.答案C2.在等差数列{an}中,有结论a1+a2+…+a88=a4+a52,类比该结论,在等比数列{bn}中,可有结论()A.b1+b2+…+b88=b4+b52B.8√b1+b2+…+b8=√b4+b5C.√b1b2…b8=√b4b5D.8√b1b2…b8=√b4b5解析由于b1b8=b2b7=b3b6=b4b5,所以8√b1b2…b8=8√(b4b5)4=√b4b5,故选D.答案D3.设△ABC的三边长分别为a,b,c,△ABC的面积为S,内切圆半径为r,则r=2Sa+b+c;类比这个结论可知:四面体P-ABC的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,四面体P-ABC的体积为V,则r=()A.VS1+S2+S3+S4B.2VS1+S2+S3+S4C.3VS1+S2+S3+S4D.4VS1+S2+S3+S4解析将△ABC的三条边长a,b,c类比到四面体P-ABC的四个面面积S1,S2,S3,S4,将三角形面积公式中系数12,类比到三棱锥体积公式中系数13,从而可知选C.证明如下:以四面体各面为底,内切球心O为顶点的各三棱锥体积的和为V,所以V=13S1r+13S2r+13S3r+13S4r,故r=3VS1+S2+S3+S4.答案C14.在平面直角坐标系内,方程xa+yb=1表示在x轴、y轴上的截距分别为a和b的直线,拓展到空间,在x轴、y轴、z轴上的截距分别为a,b,c(abc≠0)的平面方程为()A.xa+yb+zc=1B.xab+ybc+zca=1C.xyab+yzbc+zxca=1D.ax+by+cz=1解析从方程xa+yb=1的结构形式来看,空间直角坐标系中,平面方程的形式应该是xa+yb+zc=1.答案A5.若数列{an}是等差数列,则数列{bn}bn=a1+a2+…+ann也是等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为()A.dn=c1+c2+…+cnnB.dn=c1·c2·…·cnnC.dn=n√c1n+c2n+…+cnnnD.dn=n√c1·c2·…·cn解析若{an}是等差数列,则设其首项为a1,公差为d,则a1+a2+…+an=na1+n(n-1)2d,∴bn=a1+n-12d=d2n+a1-d2,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则设其首项为c1,公比为q,则c1·c2·…·cn=c1n·q1+2+…+(n-1)=c1n·qn(n-1)2,∴dn=n√c1·c2·…·cn=c1·qn-12,即{dn}为等比数列.故选D.答案D6.在平面几何中,△ABC中的内角平分线CE分AB所成线段的比为ACBC=AEBE(如图①).把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图②),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于点E,则得到的结论是.图①2图②解析由平面中线段的比转化为空间中面积的比,可得AEEB=S△ACDS△BCD.答案AEEB=S△ACDS△BCD7.圆的面积S=πr2,周长C=2πr,两者满足C=S'(r),类比此关系写出球的公式的一个结论是.解析圆的面积、周长分别与球的体积和表面积类比可得,球的体积V=43πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R).答案球的体积V=43πR3,表面积S=4πR2,满足S=V'(R)8.解决问题“求方程3x+4x=5x的解”有如下思路:方程3x+4x=5x可变为(35)x+(45)x=1,由函数f(x)=(35)x+(45)x可知,f(2)=1,且函数f(x)在R上单调递减,所以原方程有唯一解x=2.类比上述解法,可得到不等式x6-(2x+3)>(2x+3)3-x2的解集是.解析将不等式化为x6+x2>(2x+3)3+(2x+3),构造函数f(x)=x3+x,显然函数f(x)在R上单调递增,而f(x2)>f(2x+3),所以x2>2x+3,解得x>3或x<-1.答案(-∞,-1)∪(3,+∞)9.若数列{an}满足a1=1,an+an+1=(14)n,设Sn=a1+4a2+42a3+…+4n-1an(n∈N*),类比课本中推导等比数列前n项和公式的方法,试求5Sn-4nan.解由题意,Sn=a1+a2×4+a3×42+…+an×4n-1,①两边同乘以4,得4Sn=a1×4+a2×42+…+an-1×4n-1+an×4n,②由①+②,得5Sn=a1+(a1+a2)×4+(a2+a3)×42+…+(an-1+an)×4n-1+an×4n.又a1=1,an+an+1=(14)n,所以a1+a2=14,a2+a3=(14)2,3所以5Sn=1+1+…+1⏟n个1+an×4n.故5Sn-4nan=n.4
