高中数学平面向量的数量积在解析几何中的应用专题辅导VIP专享VIP免费

高中数学平面向量的数量积在解析几何中的应用尹建堂在解析几何中涉及到长度、角度、垂直等的诸多问题中，如能适当地构造向量，利用向量的数量积的几何意义和运算法则，将其转化为向量的运算，往往使问题简捷获解。一、与长度有关的问题通过向量的数量积可以计算向量的长度，这给解决线段长度问题拓宽了思路，提供了方便。这里常用的公式有：aaaaaaa·或·()||||22；若axy()，，则||axy22；若AxyBxy()()1122，、，，则A、B两点的距离公式为||()()ABxxyy212212。例1.在△OFQ中，||()OFcc2，OFFQ·＝1，该三角形面积Sc34。以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，求：（I）用c表示||OQ；（II）||OQ的最小值及此时点Q的坐标；（III）||OQ最小时的椭圆方程。分析：本题重点是对（I）的求解。取图1的坐标系后设Qxy()11，，则可用xy11、表示||OQ。如何消去xy11、，将其转化为||()OQfc，则是解题的关键。根据面积条件易求y1；再由条件||OFc及OFFQ·1可求得xgc1()，从而可消去xy11，，得到||OQ的关于c的表达式fc()。解：（I）取坐标系如图1所示。设Q（xy11，），又F()c，0，则图1OFc()，0，FQxcy()11，因为SOFycOFQ△12341||所以y132又OFFQ·1，得()()cxcy，·，0111，即cxc()11所以xcc11，故知Qcc()132，于是，得||OQxy1212()()ccc19422（II）由（I）知，当且仅当c2时，||minOQ342，此时点Q坐标为（5232，）（III）设椭圆方程为xaybab222210()，待定，由（II）知Q()5232，，又点Q在椭圆上，得2549414106222222ababab，，所以所求椭圆方程为xy221061。二、与角度有关的问题设向量ab、都是非零向量，夹角为()0，则cos||||abab·；若axybxy()()1122，、，，则cosxxyyxyxy121212122222。以上是解决有关夹角问题的重要公式，称为夹角公式。利用上述公式，就能比较方便、容易地解决涉及角的诸多问题。例2.给定抛物线Cyx：24，F是C的焦点，过F的直线l与C相交于A、B两点，设l的斜充为1，求OA与OB夹角的大小。分析：设出AxyBxy()()1122，、，后，不难用韦达定理求出xxxx1212、，于是容易求出OAOB·及||||OAOB，再用夹角公式即可获解。解：由焦点F（1，0），kl1，则lyx：1，代入yx24，整理，得xx2610设Axy()11，、Bxy()22，，则xxxx121261，于是有OAOB·＝()()xyxy1122，·，xxyyxxxxxxxx12121212121211213()()()||||OAOBxyxy12122222xxxx1212416[()]41所以cosOAOB，OAOBOAOB·||||34141所以OA与OB夹角的大小为arccos34141。例3.已知两点M（－1，0）、N（1，0），且点P使MPMN·，PMPNNMNP·，·成公差小于零的等差数列。（I）点P的轨迹是什么曲线？（II）若点P的坐标为()xy00，，记为PM与PN的夹角，求tan。分析：（I）设P（x，y），求出各有关向量的坐标，利用数量积公式，将题设条件转化为fxy()，0即所求轨迹方程；（II）求夹角公式，结合（I）知fxy()00，＝0，先求出cos，进而求出tan。解：（I）设P（x，y），则M（－1，0）、N（1，0），得PMMP()1xy，，PNNP()1xy，MNNM＝（2，0）所以MPMNx·21()PMPNxy·221NMNPx·21()于是，MPMNPMPNNMNP·，·，·是公差小于零的等差数列，等价于xyxxxx22112212121210[()()]()()xyx2230所以点P的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆（除去两端点）。（II）因为点Pxy()00，在右半圆xyx2230()上，所以xyx02020303且则PMPN·xy020212||||PMPN()()()()11424224020202020002xyxyxxx所以cos||||PMPNPMPNx·1402因为030x所以12103cos，sincos1114202x3402...