第6课时离散型随机变量的均值与方差基础达标(水平一)1.某袋中装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球,现从中随机摸取1个球,有放回地摸取5次,设摸到的白球数为X,若E(X)=3,则D(X)=().A.B.C.D.【解析】由题意知X~B,因为E(X)=5×=3,解得m=2,所以X~B,故D(X)=5××=.【答案】B2.设投掷一枚质地均匀的骰子的点数为ξ,则().A.E(ξ)=,D(ξ)=B.E(ξ)=,D(ξ)=C.E(ξ)=,D(ξ)=D.E(ξ)=,D(ξ)=【解析】由题意知,ξ的可能取值为1,2,3,4,5,6.P(ξ=1)=P(ξ=2)=P(ξ=3)=P(ξ=4)=P(ξ=5)=P(ξ=6)=,∴E(ξ)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=,D(ξ)=+++4-2++×=.【答案】B3.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=,k=0,1,2,…,n,且E(ξ)=24,则D(ξ)的值为().A.8B.12C.D.161【解析】由题意可知ξ~B,∴E(ξ)=n=24,∴n=36.∴D(ξ)=n××=36×=8.【答案】A4.某一供电网络有n个用电单位,若每个单位在一天中使用电的机会是p,则供电网络一天中平均用电的单位个数是().A.np(1-p)B.npC.nD.p(1-p)【解析】由题意知,一天中用电单位的个数X服从二项分布,即X~B(n,p),故E(X)=np.【答案】B5.甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对的概率为,乙、丙做对的概率分别为m、n(m>n),且三位学生是否做对相互独立,记X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为X0123Pab则X的数学期望为.【解析】由题意,得又m>n,解得m=,n=.由题意知,a=××+××+××=,b=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1---=.故E(X)=0×+1×+2×+3×=.【答案】26.一个人有n把钥匙,其中只有一把能打开他的房门,他随意地试开,并将打不开房门的钥匙除去,则打开房门所试开次数X的数学期望是.【解析】由于每次打开房门的概率都是,因此E(X)=1×+2×+…+n×=.【答案】7.某市教育与环保部门联合组织该市中学生参加环保知识团体竞赛.根据比赛规则,某中学选拔出8名同学组成参赛队,其中初中部选出的3名同学中有2名女生;高中部选出的5名同学中有3名女生.竞赛组委会将从这8名同学中随机选出4人参加比赛.(1)设“选出的4人中恰有2名女生,而且这2名女生来自同一个部”为事件A,求事件A的概率P(A);(2)设X为选出的4人中女生的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.【解析】(1)由已知得P(A)==,所以事件A的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.由已知得P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以随机变量X的分布列为X1234P所以随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.拓展提升(水平二)8.如图,将一个各面都涂了油漆的正方体切割成125个同样大小的小正方体,经过搅拌后,从中随机取出一个小正方体,记它的涂油漆面数为X,则X的均值为().A.B.C.D.3【解析】X的可能取值为0,1,2,3.①大正方体8个顶点处的8个小正方体涂有3个面,所以P(X=3)=;②大正方体每条棱上对应的小正方体除了两个顶点处的还有3个,一共3×12=36个小正方体涂有2个面,所以P(X=2)=;③大正方体每个面上对应的小正方体除去棱上的还有9个,一共9×6=54个小正方体涂有1个面,所以P(X=1)=;④还有125-(8+36+54)=27个没有涂漆的小正方体,所以P(X=0)=.故E(X)=0×+1×+2×+3×=.【答案】B9.体育课的排球发球项目考试的规则是:每位学生最多可发3次球,一旦发球成功,则停止发球,否则一直发到3次为止.设某学生一次发球成功的概率为p(p≠0),发球次数为X,若X的数学期望E(X)>1.75,则p的取值范围是().A.B.C.D.【解析】由已知可得P(X=1)=p,P(X=2)=(1-p)p,P(X=3)=(1-p)2,则E(X)=1×p+2×(1-p)p+3×(1-p)2=p2-3p+3>1.75,解得p>或p<.又p∈(0,1),所以p∈.【答案】C10.已知离散型随机变量X满足P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1
