§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质1.函数y=2sin+1的最大值是()A.1B.2C.3D.4解析:函数y=2sin+1的最大值为2+1=3.答案:C2.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π,则f=()A.-B.C.D.-解析:由=π,得ω=2,此时f(x)=sin.∴f=sin.答案:B3.函数y=3sin的一个递减区间为()A.B.C.D.解析:y=3sin=-3sin,当x∈时,x-,此时y=sin在区间上是增加的,从而y=-3sin在区间上是减少的,即递减区间是.答案:B4.要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=sin2x的图像()A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度解析:y=sin=sin,所以要得到函数y=sin的图像,只需将y=sin2x的图像向右平移个单位长度.答案:D5.已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图像如图所示,则()A.ω=1,φ=B.ω=1,φ=-C.ω=2,φ=D.ω=2,φ=-解析: T=4×=π,∴ω==2,由五点作图法知2×+φ=,φ=-.答案:D6.导学号03070059如图是函数y=Asin(ωx+φ)(x∈R)在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将y=sinx(x∈R)的图像上所有点()A.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变B.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变D.向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变解析:由图像可知函数的周期为π,振幅为1,所以函数的解析式可设为y=sin(2x+φ).代入可得φ的一个值为,故图像中函数的一个解析式是y=sin,所以只需将y=sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变.答案:A7.函数y=3sin的图像的对称轴为,对称中心为.解析:令x++kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z;令x+=kπ,k∈Z,得x=-+2kπ,k∈Z,故原函数的图像的对称轴为x=+2kπ,k∈Z;对称中心为,k∈Z.答案:x=+2kπ,k∈Z,k∈Z8.若函数y=5sin的周期不大于1,则自然数k的最小值为.解析:依题意有≤1,因此,|k|≥6π,故自然数k的最小值是19.答案:199.将函数y=sin的图像上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图像,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为和.解析:依据图像变换得函数g(x)=sin. x∈,∴4x+,∴当4x+时,g(x)取最大值;当4x+时,g(x)取最小值-.答案:-10.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的一部分如图所示,求函数f(x)的解析式.解:由图像可知,A=2,T=8. T=8,∴ω=.∴f(x)=2sin.方法一:由图像过点(1,2)得,2sin=2,∴sin=1.∴+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ+(k∈Z). |φ|<,∴φ=,∴f(x)=2sin.方法二: 点(1,2)对应“五点”中的第二个点,∴×1+φ=,∴φ=,∴f(x)=2sin.11.导学号03070060已知函数f(x)=sin.(1)求f(x)的最大值、最小值,及相应x的值;(2)求f(x)的最小正周期、对称轴和对称中心;(3)函数f(x)的图像至少向左平移多少个单位长度时才为偶函数?解:(1)当2x++2kπ(k∈Z)时,f(x)有最大值,即当x=+kπ(k∈Z)时,f(x)max=.当2x+=-+2kπ(k∈Z)时,f(x)有最小值,即当x=kπ-(k∈Z)时,f(x)min=.(2)由T=知函数f(x)的最小正周期为T=π.令2x+=kπ+(k∈Z),则x=(k∈Z),∴对称轴为直线x=(k∈Z).令2x+=kπ(k∈Z),则x=(k∈Z),∴对称中心为(k∈Z).(3)由函数性质知若函数y=Asin(ωx+φ)+b为偶函数,φ>0,则φ至少为,即y=sincos2x+为偶函数.∴应将函数y=sin的图像平移至函数y=sin的图像处.由函数图像平移方法知:y=sin的图像y=sin的图像,∴函数f(x)的图像至少向左平移个单位长度才为偶函数.B组1.(2016莱州高三月考)为了得到y=3sin的图像,只需把y=3sin的图像上所有点的()A.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变B.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变C.纵坐标缩短到原来的,横坐标不变D.横坐标缩短到原来的,纵坐标不变解析:为了得到y=3sin的图像,只需把y=3sin的图像上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,故选D.答案:D2.设ω>0,函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是()A.B.C.D.3解析:y=sin+2向右平移个单位长度,得y1=sin+2,即y1=sin+2,又函数y与y1的图像重合,则-ω=2kπ(k∈Z),∴ω=-k(k∈Z).又ω>0,k∈Z,∴当k=-1时,ω取得最小值.故选C.答案:C3.将函数f(x)=sinωx(其中...
