高中数学 第二章 推理与证明 2.3 数学归纳法学业分层测评 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第二章推理与证明2.3数学归纳法学业分层测评苏教版选修2-2(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于________.【解析】f(n＋1)－f(n)＝1＋＋＋…＋＋＋＋－f(n)＝＋＋.【答案】＋＋2.(2016·无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“＋＋＋…＋＞”，当n＝1时，不等式左边的项为：________.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n＋1一直到3n＋1的分数之和，当n＝1时，n＋1＝2,3n＋1＝4，左边项为＋＋.【答案】＋＋3.用数学归纳法证明：“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值________.【导学号：01580053】【解析】 当n＝1时，21＝12＋1；当n＝2时，22＜22＋1，当n＝3时，23＜32＋1；当n＝4时，24＜42＋1；当n≥5时，2n＞n2＋1恒成立.∴n0＝5.【答案】54.若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，n∈N*，则f(k＋1)－f(k)＝______________.【解析】f(k)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2，f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，则f(k＋1)－f(k)＝(2k＋1)2＋(2k＋2)2.【答案】(2k＋1)2＋(2k＋2)25.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an＝________.【解析】a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，猜想an＝.【答案】6.用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N*)时，假设n＝k命题成立之后，证明n＝k＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________.【解析】要想办法出现ak＋1＋bk＋1，两边同乘以，右边也出现了要证的k＋1.【答案】7.以下是用数学归纳法证明“n∈N*时，2n＞n2”的过程，证明：(1)当n＝1时，21＞12，不等式显然成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即2k＞k2.那么，当n＝k＋1时，2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1＝(k＋1)2.即当n＝k＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何n∈N*不等式都成立.其中错误的步骤为________(填序号).【解析】在2k＋1＝2×2k＝2k＋2k＞k2＋k2≥k2＋2k＋1中用了k2≥2k＋1，这是一个不确定的结论.如k＝2时，k2＜2k＋1.【答案】(2)8.用数学归纳法证明12＋22＋…＋(n－1)2＋n2＋(n－1)2＋…＋22＋12＝时，由n＝k的1假设到证明n＝k＋1时，等式左边应添加的式子是_____.【解析】当n＝k时，左边＝12＋22＋…＋(k－1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12.当n＝k＋1时，左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＋k2＋(k－1)2＋…＋22＋12，所以左边添加的式子为(k＋1)2＋k2.【答案】(k＋1)2＋k2二、解答题9.用数学归纳法证明：当n∈N*时，1＋22＋33＋…＋nn＜(n＋1)n.【证明】(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2,1＜2，不等式成立.(2)假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋22＋33＋…＋kk＜(k＋1)k，那么，当n＝k＋1时，左边＝1＋22＋33＋…＋kk＋(k＋1)k＋1＜(k＋1)k＋(k＋1)k＋1＝(k＋1)k(k＋2)＜(k＋2)k＋1＝(k＋1)＋1]k＋1＝右边，即左边＜右边，即当n＝k＋1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意n∈N*都成立.10.已知数列{an}满足an＋1＝，a1＝0.试猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.【解】由an＋1＝，a1＝0，得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝，a5＝＝，….归纳上述结果，可得猜想an＝(n＝1,2,3，…).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n＝1时，猜想显然成立.(2)假设当n＝k时猜想成立，即ak＝，那么，当n＝k＋1时，ak＋1＝＝＝＝，即当n＝k＋1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想an＝对所有正整数都成立，即为数列{an}的通项公式.能力提升]1.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xn－yn能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________.【解析】由于n为正偶数，第一步应检验n＝2时，命题成立.第二步，应假设n＝2k(k∈N*)时命题成立，即n＝2k(k∈N*)时x2k－y2k能被x＋y整除.【答案】2假设n＝2k(k∈N*)时x2k－y2k能被x＋y整除2.用数学归纳法证明：凸n边形对角线的条数f(n)＝n(n－3)(n≥4)时，f(k＋1)与f(k)的关系是_______________________________________________.【解析】假设n＝k(k≥4，k∈N*)时成立，则f(k)＝k(k－3)，当n＝k＋1时，多出一条边，实际上增加的...