高考数学一轮复习 课后限时集训38 基本不等式 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP免费

课后限时集训38基本不等式建议用时：45分钟一、选择题1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是()A．若a，b∈R，则＋≥2＝2B．若x＞1，y＞1，则lgx＋lgy≥2C．若x＜0，则x＋≥2＝－4D．若x＜0，则2x＋2－x＞2＝2BD[A错误， a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确， lgx和lgy一定是正实数，故可用基本不等式；C错误， x和不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确， 2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选BD.]2．设0＜x＜2，则函数y＝的最大值为()A．2B．C.D.D[ 0＜x＜2，∴4－2x＞0，∴x(4－2x)＝×2x(4－2x)≤×2＝×4＝2.当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立．即函数y＝的最大值为.]3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为()A．3＋2B．3＋C．2＋2D．3A[因为2m＋n＝1，所以＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝m时等号成立，所以＋的最小值为3＋2，故选A.]4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为()A．2B．4C．6D．8B[法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.法二：(常数代换法)由题意，得＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为()A.≥(a>0，b>0)B．a2＋b2≥2(a>0，b>0)C.≤(a>0，b>0)D.≤(a>0，b>0)D[由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝，又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.]二、填空题6．若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．[ 对任意x＞0，≤a恒成立，∴对x∈(0，＋∞)，a≥max，而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，当且仅当x＝时等号成立，∴a≥.]7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数y＝x交AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________．[由题意得：P点坐标为，Q点坐标为，|AQ|＋|CP|＝＋≥2，当且仅当a＝时，取最小值．]8．(2019·天津高考)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为________．[＝＝＝2＋.因为x＞0，y＞0，x＋2y＝4，所以x＋2y＝4≥2，即≤2,0＜xy≤2，当且仅当x＝2y＝2时等号成立．所以2＋≥2＋5×＝，所以的最小值为.]三、解答题9．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，又x>0，y>0，则1＝＋≥2＝，得xy≥64，当且仅当x＝4y，即x＝16，y＝4时等号成立．故xy的最小值为64.(2)法一：(消元法)由2x＋8y－xy＝0，得x＝，因为x＞0，y＞0，所以y＞2，则x＋y＝y＋＝(y－2)＋＋10≥18，当且仅当y－2＝，即y＝6，x＝12时等号成立．故x＋y的最小值为18.法二：(常数代换法)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，则x＋y＝·(x＋y)＝10＋＋≥10＋2＝18，当且仅当y＝6，x＝12时等号成立，故x＋y的最小值为18.10．某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－(k为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？[解](1)由题意知，当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，k＝2，∴x＝3－，每万件产品的销售价格为1.5×(万元)，∴2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m＝4＋8x－m＝4＋8－m＝－＋29(m≥0)．(2) m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，∴y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1，即m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．故该厂家2020年的促销费用投入3万元时...