导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f′(x0)＝0x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．概念方法微思考1．对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”)提示必要不充分2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数．证明：（1）存在唯一的极值点；（2）有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解析】（1）函数．的定义域为，，单调递增，单调递减，单调递增，又（1），（2），存在唯一的，使得．当时，，单调递减，当时，，单调递增，存在唯一的极值点．（2）由（1）知（1），又，在，内存在唯一的根，由，得，，是在的唯一根，综上，有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．（2019•江苏）设函数，，，，为的导函数．（1）若，（4），求的值；（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；（3）若，，，且的极大值为，求证：．【解析】（1），，（4），，，解得．（2），，设．令，解得，或．．令，解得，或．和的零点均在集合，1，中，若：，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，舍去．．，，则，舍去．，，则，舍去．，，则，．因此，，，可得：．．可得时，函数取得极小值，（1）．（3）证明：，，，．．△．令．解得：，．，，，可得时，取得极大值为，，令，可得：．，．令，，函数在上单调递减，．．．函数在上单调递增，．3．（2018•北京）设函数．（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线斜率为0，求；（Ⅱ）若在处取得极小值，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数的导数为．曲线在点，（2）处的切线斜率为0，可得，解得；（Ⅱ）的导数为，若则时，，递增；，，递减．处取得极大值，不符题意；若，且，则，递增，无极值；若，则，在，递减；在，递增，可得在处取得极小值；若，则，在递减；在，，递增，可得在处取得极大值，不符题意；若，则，在，递增；在，递减，可得在处取得极大值，不符题意．综上可得，的范围是．4．（2018•北京）设函数．（Ⅰ）若曲线在点，（1）处的切线与轴平行，求；（Ⅱ）若在处取得极小值，求的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数的导数为．由题意可得曲线在点，（1）处的切线斜率为0，可得，且（1），解得；（Ⅱ）的导数为，若则时，，递增；，，递减．处取得极大值，不符题意；若，且，则，递增，无极值；若，则，在，递减；在，递增，可得在处取得极小值；若，则，在递减；在，，递增，可得在处取得极大值，不符题意；若，则，在，递增；在，递减，可得在处取得极大值，不符题意．综上可得，的范围是，．5．（2018•新课标Ⅲ）已知函数．（1）若，证明：当时，；当时，；（2）若是的极大值点，求．【解析】（1）当时，，．，，可得时，，时，在递减，在递增，，在上单调递增，又．当时，；当时，．（2）解：由，得，令，．当，时，，单调递增，，即，在上单调递增，故不是的极大值点，不符合题意．当时，，显然单调递减，①令，解得．当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，，单调递减，又，当时，，即，当时，，即，在上单调递增，在上单调递减，是的极大值点，符合题意；②若，则，，在上有唯一一个零点，设为，当时，，单调递增，，即，在上单调递增，不符合题意；③若，则，，在上有唯一一个零点，设为，当时，，单调递减，，单调递增，，即，在，上单调递减，不符合题意．综上，．6．（2017•全国）已知函数．（1）当时，求的极小值；（Ⅱ）当时，讨论方程实根的个数．【解析】．（1）当时，令，得或；①当时，有，列表如下：200极大值极小值故极小值为．②当时，有，则，故在上单调递增，无极小值；③当时，有，列表如...
